第2课时向量数量积的运算导学案高一下学期数学人教A版.docxVIP

6．2.4第2课时向量数量积的运算

【课标要求】1.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的运算律进行计算或证明．

【导学】

学习目标一向量数量积的运算律

师问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积满足哪些运算律呢？

生答：

例1已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求：

(1)a·(a＋b)；

(2)(2a－b)·(a＋3b)．

总结：正确应用向量数量积的运算律化简是解此类问题的关键．

跟踪训练1(1)在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，则AC·

A．－12B．－8

C．8D．12

(2)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则

学习目标二向量的模的计算

例2已知向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5.

(1)若a·b＝0，求|b|的值；

(2)若a·b＝1，求|2a＋b|的值．

求向量模的策略

跟踪训练2已知单位向量a，b满足|a－3b|＝|3a＋b|，则|a＋4b|＝__________．

学习目标三向量的夹角与垂直

例3(1)已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝|a－b|，则a与b的夹角的余弦值为()

A．24B．

C．－24D．－

(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？

总结：(1)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝a·bab求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a

(2)要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈0，π2；当cosθ＜0时，θ∈(π2

(3)解决有关垂直问题时利用a

跟踪训练3(1)已知平面向量a，b，满足a·(2a－b)＝5，且|a|＝1，|b|＝3，则向量a与向量b的夹角余弦值为()

A．1B．－1

C．12

(2)已知向量a，b的夹角的余弦值为13，|a|＝|b|，且a＋2b与a＋λb

【导练】

1．若a，b，c均为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()

A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

C．m(a＋b)＝ma＋mb

D．(a·b)c＝a(b·c)

2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝()

A．－2B．－1

C．1D．2

3．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝()

A．2

C．23

4．已知向量a，b满足(a－b)⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．

【导思】

如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝2π3，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥

指津：设OM＝m，ON＝n，且m，n∈[0，1]，表示出PM·

第2课时向量数量积的运算

导学

学习目标一生答：满足交换律、结合律、分配律．

例1解析：a·b＝|a||b|cos60°＝4×6×12

(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝16＋12＝28.

(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2|a|2－3|b|2＋5a·b＝2×16－3×36＋5×12＝－16.

跟踪训练1解析：(1)

AC＝AB+AD，BD＝AD?AB，则AC·BD＝(AB+(AD)·(AD?

(2)依题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1||

答案：A(2)－2

学习目标二

例2解析：(1)∵|a－b|＝5，

∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2＝25，

∴|b|2＝16，即|b|＝4.

(2)|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25，

∴|b|2＝18，即|b|＝32，

|2a＋b|＝2a+b2＝4a

跟踪训练2解析：因为|a－3b|＝|3a＋b|，

所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，则1－6a·b＋9＝9＋6a·b＋1，故a·b＝0，所以|a＋4b|2＝a2+8a·b+16b

答案：17

学习目标三

例3解析：(1)由题意设|b|＝2|a|＝|a－b|＝2t0，则|a－b|2＝t2＋4t2－2a·b＝4t2，解得a·b＝t22，所以a与b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝a·ba

(2)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，

所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，

因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝32

答案：B

(2)见解析

跟踪训练3解析：(1)设向量a与向量b的夹角为θ，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－|a||b|