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理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A^T\vert\)的值为（）

A.\(2^3\times2\)

B.\(2^2\times2\)

C.\(2^3\)

D.\(2^2\)

答案：A

解析：根据矩阵的性质，\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(n\)为矩阵\(A\)的阶数），\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)。已知\(A\)是\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，那么\(\vert2A^T\vert=2^3\vertA^T\vert=2^3\times2\)。

2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则（）

A.存在一组不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)

B.存在一组全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)

C.任意一组数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，都有\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)

D.向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示

答案：A

解析：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的定义就是存在一组不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。选项B中全为零的数不能作为线性相关的判定依据；选项C错误，不是任意一组数都满足；选项D是向量组线性相关的等价命题，但不是定义。

3.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）

A.当\(mn\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)

B.当\(mn\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)

C.当\(nm\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)

D.当\(nm\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)

答案：B

解析：因为\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leqn\)，当\(mn\)时，\(AB\)是\(m\timesm\)矩阵，且\(r(AB)\leqnm\)，根据方阵行列式为零的充要条件是矩阵的秩小于阶数，所以\(\vertAB\vert=0\)。

4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩阵为（）

A.\(\begin{pmatrix}120\\221\\013\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}140\\022\\003\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}120\\421\\023\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}120\\222\\013\end{pmatrix}\)

答案：A

解析：对于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)（\(a_{ij}=a_{ji}\)），其矩阵\(A=(a_{ij})\)。在二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)中，\(a_{11}=1\)，\(a_{12}=a_{21}=2\)，\(a_{22}=2\)，\(a_{23}=a_{32}=1\)，\(a_{33}=3\)，\(a_{13}=a_{31}=0\)，所以矩阵\(A=\begin{pmatrix}120\\221\\013\end{pmatrix}\)。

5.设\(\lambda_1,\lambda_2\)是矩阵\(A\)的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为\(\alpha_1,\alpha_2\)，则\(\alpha_