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构造辅助函数在高等数学中的应用

摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。

构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结

如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用

关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；

在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法

一、有关中值定理命题的证明的应用

1.1构造辅助函数证明中值存在性问题

设，在连续，在可导。而，证明至少存在一点使

分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走：

将结论化为

移项并同时除以得：

求积分，并令之为

则就是我们要找的辅助函数。

证明

由于，在连续，在可导且则在满足罗尔中值定理，存在，使得即也即即为所证

二、在证明不等式中的应用

1.2构造辅助函数证明不等式

1.2.1构造辅助函数用单调性证明不等式

构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用的方法有：（１）用不等式两边“求差”构造辅助函数．（２）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数．（３）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数．（４）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易于证明的形式，再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数

设，证明

分析：利用“求差”构造辅助函数，再根据在区间（0,）

的单调性证明之。

证明令，则

,则,所以在内单调递减，从而，;在内单调递减，从而，所以在内单调递减，，

故

1.2.2构造辅助函数用拉格朗日定理证明不等式

对于一些不等式,我们观察它的形式，不难发现，对不等式进行适当的变形，我们可以构造出辅助函数，能够满足拉格朗日中值定理

,其中;

分析：，不等式，∵故可将原不等式恒等变形为观察此不等式，我们可以发现中间式子符合拉格朗日中值公式的形式，故我们可以构造辅助函数，

证明：令由拉格朗日中值定理条件，可知至少存在一点使得

分析引入辅助函数

证明一个方程有且仅有一个实根可转化为证明函数有且仅有一个零点，证明需考虑两点，一是利用零点定理说明函数至少有一个零点，二是利用单调性或反证法说明函数只有一个零点。

证明令

由，由零点定理可知，

在内至少有一个零点，即方程至少有一个实根。

又

在内单调上升，所以只有一个零点，即原方程只有一个实根

1.6构造辅助函数计算积分及求函数值

参考文献：

高等数学典型例题法与解法[上]

高等数学中的典型问题与解法

构造辅助函数在《数学分析》中的应用

浅析构造思想在高等数学的应用

构造辅助函数法在高等数学中的应用

卢莲芬辅助函数的应用数学教育学报

刘勇。高等数学中的构造辅助函数数学教育学报

李振延秦宝忠数学分析中辅助函数的构德州师专学报

廖达凡辅助函数法在不等式问题中的应用高中数学教与学

陈国干高等数学中如何构造辅助函数数学教育学报

宋振云。陈少元。徐琼霞。微分中值定理证明中辅助函数的构造高师理科学刊

宋学军，徐侃。微分中值定理应用中辅助函数的构造高等函授学报

裴礼文。数字分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社

吉米多维奇。数字分析习题集山东科学技术出版社