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第十章磁场

增分微点10

带电粒子在立体空间中的运动

一、带电粒子的螺旋线运动和旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。

现在主要讨论两种情况：

(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不

垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方

向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆。

(2空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆。

例1(2024-湖南卷，14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，

左右端面圆心O、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取OO方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向；筒外

x≥0区域有一匀强电场，电场强度大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在0处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v₀。已知电子的质量为m、电荷量为e,设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。

(1)若所有电子均能经过○进入电场，求磁感应强度B的最小值；

解析将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v₀和沿y轴方向的速度v,,则电子做沿x轴正方向的匀速运动和投影到

yOz平面内的圆，又电子做匀速圆的,电子均能经过O进入电场，则

联立解得

当n=1时，

答案

O

(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度

方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tanθ的绝对值；

解析由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到yOz平面内的圆的最大半径为r,由洛伦兹力提供向心力有e7yomaxBmin

答案

(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴

正方向的最大位移。

解析y

轴正方向的分速度大小为vyomax时，电子在电场中运动时y轴

正方向的位移最大，由牛顿第二定律有eE=ma

由速度位移公式有2aym=Vyoax²

联立解

答案

O

跟踪训练

1.(多选)(2025·陕西铜川模拟)利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如图所示，空间内有正立方体abcd-efgh区域，正方体区域内存在着方向沿ae向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B,一带电粒子从a点沿ab方向以速度v₀进入空间，粒子恰好通过c点；第一次撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场E₁,粒子仍从a点以原速度v₀进入电场，粒子恰好通过点；第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀强电场E2,粒子仍从a点以原速度v₀进入场区，粒子恰好通过g点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是(BC)

A.电场强度E₁大小为v₀BB.粒子从a点到c点时间是从a点到点时间的”倍

C.电场强度E₂大小为D.到达8点时速度大小为

C

g

解析设立方体棱长为L,只加磁场时，粒子做圆，恰好通过c点，其半径R=L,由所用时间只加电场E₁,粒子做类平抛运动，有L=vot₂,联立得E₁=20₀B,,可故A错误，B正确；空间同时加磁场和电场E2,粒子做非等距螺旋线运动，粒子恰好通过g点，所用时间沿电场方向有

故C正确；粒子在g点速度,故D错误。

得

二、带电粒子在立体空间中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。

例2(2025·山东潍坊模拟)如图所示的0-xyz坐标系中，0x√3的Iz

轴正方向的匀强磁场，在x√3的Ⅱ区域内有沿y轴正方向的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从y轴上的点PO,21,0)以速度v₀沿x轴正方向射入I区域，从点Q进入