指数函数、幂函数、对数函数的增长比较-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册.pptxVIP

4.4指数函数、幂函数、对数函数的增长比较

学习目标1.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异，并能解决相关问题，体现逻辑推理能力（重点）2.能正确的选择函数模型解决实际问题，体现数学计算能力（难点）

新课导入我们知道，指数函数y=ax(a1)，对数函数y=logbx(b1)，幂函数y=xc(x0，c0)在定义域内都是增函数，当x的值趋近于正无穷大时，y的值都是趋近于正无穷大．思考一下：这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?

新课学习先举例比较幂函数y=x0.5与对数函数y=log2x的增长情况.观察下表x202223242628210212214216y=x0.51248163264128256y=log2x02346810121416结论：根据上表，可以得到可以看出，幂函数y=x0.5比对数函数y=log2x增长快，而且快很多.

新课学习思考一下：观察上表，当b和c具有什么样的大小关系时，幂函数增长的比对数函数快？当b1，c0时，即使b很接近1，c很接近0，都有幂函数比指数函数增长的快.

新课学习再举例比较幂函数y=x100与指数函数y=2x的增长情况.观察下表x202428210214220y=2x221622562102421638421048576y=x100124002800210002140022000结论：根据上表，可以看出，当x的值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多.

新课学习思考一下：观察上表，当a和c具有什么样的大小关系时，幂函数增长的比指数函数快？当a1，c0时，即使b很接近1，c很大，都有指数函数y=ax比幂函数y=xc增长的快.

新课学习比较一下y=2x，y=x2，y=log2x的增长快慢124y=2xy=x2y=log2x164由右图，我们可以得到1.对数函数y=log2x增长最慢?

新课学习比较一下y=4x，y=x4，y=log4x的增长快慢1.对数函数y=log4x增长最慢由右图，我们可以得到?xyy=4xy=x4y=log4x416o

新课学习思考一下：根据前面的两个比较，总结一下指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．???

新课学习以函数y＝2x和y＝2x为例，在同一直角坐标系中画出它们的图象，观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？从图象上，发现函数y＝2x和y＝2x有两个交点(1,2)，(2,4)，并且这两个交点将区间[0,+∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化．

新课学习思考一下：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？通过对y＝2x和y＝2x的研究发现，虽然两个函数在区间[0,＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，y＝2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝2x的增长速度.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有2x＞2x.一般地，指数函数y＝ax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k＞0)的增长速度．

新课学习思考一下：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？g通过对y=lgx和y=0.1x的研究发现，虽然两个函数在区间[0,＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，y=lgx的增长速度越来越慢，与y=0.1x的增长速度相比几乎微不足道．一般地，对数函数y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．

新课学习思考交流：一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0,+∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．

课堂巩固C

课堂巩固

课堂巩固B

课堂巩固

课堂巩固D

课堂巩固

课堂巩固D

课堂巩固

课堂巩固D

课堂巩固

课堂巩固①

课堂总结1.指对幂函数增长的比较2.指数函数、一元一次函数、指数函数增长速度差异

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