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《线性代数（华南农业大学版）》章节测试网课答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.若矩阵A的秩为r，则以下哪个结论是正确的？

A.A的任意r阶子式都不为零

B.A的任意r+1阶子式都不为零

C.A的任意r阶子式都不为零，而任意r+1阶子式都为零

D.A的任意r阶子式都为零

答案：C

2.设矩阵A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则以下哪个条件是矩阵A与B乘积存在的必要条件？

A.m=n

B.m=s

C.n=s

D.m+n=s

答案：C

3.以下哪个矩阵是正交矩阵？

A.\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}10\\0-1\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix}\)

答案：B

4.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的线性相关性如何？

A.线性相关

B.线性无关

C.无法确定

D.部分线性相关

答案：B

5.设矩阵A的伴随矩阵为A*，若A的行列式|A|=4，则|A*|的值为：

A.4

B.16

C.1

D.64

答案：B

6.若线性方程组Ax=b有解，则以下哪个条件是充分的？

A.A的秩等于未知数的个数

B.A的秩等于增广矩阵的秩

C.A的秩等于方程的个数

D.A的秩等于方程的个数加1

答案：B

7.设矩阵A是n阶可逆矩阵，若A的伴随矩阵A*满足A*A=2E，则A的行列式|A|的值为：

A.2

B.4

C.1

D.0

答案：B

8.设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2-4x1x3+6x2x3，其正负惯性指数分别为p和q，则p+q的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：A

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若矩阵A的逆矩阵A^-1存在，则矩阵A的秩r(A)等于______。

答案：n（其中n为矩阵A的阶数）

10.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|的值为______。

答案：16

11.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1可以表示为原向量组的线性组合，则系数矩阵C的秩r(C)等于______。

答案：3

12.设矩阵A是n阶对称矩阵，若A的特征值全部为实数，则矩阵A一定是______矩阵。

答案：实对称

13.设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2-4x1x3+6x2x3，通过正交变换化为标准形，则变换后的二次型为______。

答案：y1^2+2y2^2+5y3^2

14.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A的行列式|A|=0，且A的秩r(A)=n-1，则方程组Ax=b的解的情况是______。

答案：无穷多解

三、解答题（共60分）

15.（本题10分）已知矩阵A=\(\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵A的秩。

解答：

首先，我们对矩阵A进行初等行变换，使其变为阶梯形矩阵：

\(\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\xrightarrow{r2-4r1}\begin{bmatrix}123\\0-3-6\\789\end{bmatrix}\xrightarrow{r3-7r1}\begin{bmatrix}123\\0-3-6\\0-6-12\end{bmatrix}\xrightarrow{r2\times(-\frac{1}{3})}\begin{bmatrix}123\\012\\0-6-12\end{bmatrix}\xrightarrow{r3+6r2}\begin{bmatrix}123\\012\\000\end{bmatrix}\)

从上述变换过