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《工科高等数学（下）》章节测试网课答案

一、极限与连续

1.求下列极限：

（1）\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)

答案：1

解析：根据洛必达法则，当分子和分母同时趋于0时，可以求导数的极限。对分子和分母分别求导，得到：

\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=1\)

（2）\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}\)

答案：0

解析：当\(x\)趋向于无穷大时，分母\(x^2+1\)的增长速度远大于分子1，所以极限为0。

（3）\(\lim_{x\to-2}(3x^2-2x+1)\)

答案：7

解析：将\(x=-2\)代入函数，得到：

\(3(-2)^2-2(-2)+1=3\times4+4+1=7\)

2.判断下列函数在指定点是否连续：

（1）\(f(x)=x^2\)，在\(x=2\)处

答案：连续

解析：函数\(f(x)=x^2\)在\(x=2\)处左极限、右极限和函数值都相等，即：

\(\lim_{x\to2^-}x^2=4\)

\(\lim_{x\to2^+}x^2=4\)

\(f(2)=4\)

所以函数在\(x=2\)处连续。

（2）\(f(x)=\frac{1}{x}\)，在\(x=0\)处

答案：不连续

解析：函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)处左极限和右极限不存在，故在该点处不连续。

二、一元函数微分学

1.求下列函数的导数：

（1）\(f(x)=3x^2-2x+1\)

答案：\(f(x)=6x-2\)

解析：根据导数的定义和运算法则，对函数\(f(x)\)求导得到：

\(f(x)=(3x^2)-(2x)+(1)=6x-2+0=6x-2\)

（2）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

答案：\(f(x)=-\frac{1}{x^2}\)

解析：根据导数的定义和运算法则，对函数\(f(x)\)求导得到：

\(f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)

2.求下列函数的极值：

（1）\(f(x)=x^3-3x^2+4\)

答案：极小值点为\(x=2\)，极小值为\(f(2)=2\)

解析：首先求导数\(f(x)=3x^2-6x\)，令\(f(x)=0\)，解得\(x=0\)和\(x=2\)。再求二阶导数\(f(x)=6x-6\)，代入\(x=0\)和\(x=2\)，得到：

\(f(0)=-60\)，\(f(2)=60\)

所以\(x=2\)是极小值点，\(f(2)=2\)是极小值。

（2）\(f(x)=-x^2+4x-5\)

答案：极大值点为\(x=2\)，极大值为\(f(2)=1\)

解析：首先求导数\(f(x)=-2x+4\)，令\(f(x)=0\)，解得\(x=2\)。再求二阶导数\(f(x)=-2\)，代入\(x=2\)，得到：

\(f(2)=-20\)

所以\(x=2\)是极大值点，\(f(2)=1\)是极大值。

三、一元函数积分学

1.求下列不定积分：

（1）\(\int(3x^2-2x+1)dx\)

答案：\(x^3-x^2+x+C\)

解析：根据积分的线性性质和基本积分公式，得到：

\(\int(3x^2-2x+1)dx=\int3x^2dx-\int2xdx+\int1dx=x^3-x^2+x+C\)

（2）\(\int\frac{1}{x}dx\)

答案：\(\ln|x|+C\)

解析：根据基本积分公式，得到：

\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)

2.求下列定积分：

（1）\(\int_{0}^{2}(x^2-x)dx\)

答案：\(\frac{4}{3}\)

解析：根据定积分的定义和性质，得到：

\(\int_{0}^{2}(x^2-x)dx=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2}=\left(\frac{1}{3}\times2^3-\frac{1}{2}\times2^2\right)-