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高中数学联考真题详解

各位同学，大家好。近期各地联考陆续结束，这份凝聚了命题专家心血的试卷，不仅是对大家阶段性学习成果的检验，更是我们查漏补缺、提升能力的宝贵资料。今天，我们就针对本次联考数学试卷中的几道典型真题，进行一次深度剖析，希望能帮助大家拨开迷雾，洞悉数学问题的本质，为后续的复习指明方向。

一、函数与导数的综合应用

题目再现：

已知函数\(f(x)=x^2-a\lnx\)（其中\(a\)为常数，且\(a0\)）。

(1)若函数\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；

(2)求函数\(f(x)\)在区间\([1,e]\)上的最小值。

审题与思路分析：

本题是一道典型的函数与导数结合的问题，主要考察了导数的几何意义（极值点处导数为零）以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题。这类题目在联考乃至高考中都占有相当重要的地位，综合性较强，需要我们具备扎实的导数运算能力和对函数单调性分析的深刻理解。

第(1)问，函数在某点取得极值，根据极值的必要条件，该点的导数值必为零。因此，我们的思路是先对\(f(x)\)求导，然后令导函数在\(x=1\)处的值为零，解出\(a\)的值。当然，求出\(a\)后，我们还需要简要验证一下该点是否确实为极值点（通常通过判断导函数在该点左右两侧的符号变化），但题目明确说“取得极值”，所以这一步在解答题中有时可以省略具体过程，但若时间允许，简要说明更显严谨。

第(2)问，求函数在闭区间\([1,e]\)上的最小值。这是导数应用的核心题型之一。常规思路是：首先求出函数的导数，找出导数为零的点（即可能的极值点），然后判断这些极值点是否在给定区间内。接着，求出区间端点以及区间内极值点处的函数值，最后比较这些函数值的大小，其中最小的即为函数在该区间上的最小值。这里的关键在于对参数\(a\)的讨论，因为\(a\)的取值会影响导数的零点位置以及函数的单调性。

详细解答过程：

(1)由题意，函数\(f(x)=x^2-a\lnx\)，其定义域为\((0,+\infty)\)。

对\(f(x)\)求导，可得：

\(f(x)=2x-\frac{a}{x}\)。

因为函数\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，所以\(f(1)=0\)。

即：\(2\times1-\frac{a}{1}=0\)，解得\(a=2\)。

经检验，当\(a=2\)时，\(f(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}\)。

在\(x=1\)附近，当\(x1\)时，\(f(x)0\)；当\(x1\)时，\(f(x)0\)，故\(x=1\)为函数的极小值点。因此，\(a=2\)符合题意。

(2)由(1)知\(f(x)=2x-\frac{a}{x}=\frac{2x^2-a}{x}\)，\(x0\)。

令\(f(x)=0\)，即\(2x^2-a=0\)，解得\(x=\sqrt{\frac{a}{2}}\)（负值舍去，因为定义域为\(x0\)）。

这个\(x=\sqrt{\frac{a}{2}}\)是函数\(f(x)\)的唯一可能极值点。接下来，我们需要讨论这个点与区间\([1,e]\)的位置关系。

①当\(\sqrt{\frac{a}{2}}\leq1\)，即\(a\leq2\)时：

在区间\([1,e]\)上，\(f(x)=\frac{2x^2-a}{x}\geq\frac{2\times1^2-a}{x}\geq0\)（因为\(a\leq2\)）。

所以函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上单调递增。

因此，\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值为\(f(1)=1^2-a\ln1=1\)。

②当\(1\sqrt{\frac{a}{2}}e\)，即\(2a2e^2\)时：

在区间\([1,\sqrt{\frac{a}{2}})\)上，\(f(x)0\)，函数\(f(x)\)单调递减；

在区间\((\sqrt{\frac{a}