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历年自动控制原理解题方法汇总

——从基础到进阶的解题思路梳理

自动控制原理作为控制工程领域的基石，其理论性与实践性紧密结合，解题过程往往需要对基本概念、数学工具及工程思想的综合运用。历年的考试与实践中，题目形式虽千变万化，但核心的解题方法与思路却有章可循。本文旨在梳理自动控制原理中各类典型问题的解题方法，力求为读者提供一套系统、实用的解题策略，助力深化理解与提升解题效率。

一、数学模型的建立与转换

数学模型是控制系统分析与设计的基础，准确建立和熟练转换数学模型是解决后续问题的前提。

核心考点：

*微分方程的建立（时域模型）

*传递函数的求取与性质

*方框图（BlockDiagram）的等效化简

*信号流图（SignalFlowGraph）与梅森公式（MasonsGainFormula）

解题思路与步骤：

1.微分方程建模：对于简单的机电、热力等物理系统，关键在于依据物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒等）列出系统的原始方程，注意输入输出的定义，消去中间变量，整理为标准形式。需明确系统的线性、定常、时不变等假设条件。

2.传递函数求取：在零初始条件下对微分方程进行拉普拉斯变换，直接得到输出与输入的拉氏变换之比。对于电路系统，也可直接利用复阻抗法结合电路定律列写方程，再求传递函数。需牢记传递函数的定义及零极点、增益的概念。

3.方框图化简：遵循“等效”原则，即保持输入输出关系不变。常用方法包括：串联环节的等效（相乘）、并联环节的等效（相加）、反馈环节的等效（\(G/(1\pmGH)\)）、分支点与相加点的移动（注意移动方向和引入的附加环节，避免出错）。化简时，建议从内向外或从外向内逐步进行，每一步都确保等效。

4.信号流图与梅森公式：信号流图是方框图的另一种表示形式。运用梅森公式时，首先要准确识别前向通路、单独回路和互不接触回路。公式中，\(\Delta\)（特征式）的计算是关键，需仔细考虑所有可能的回路组合。对于复杂系统，梅森公式往往比方框图化简更为直接高效，但对概念的清晰度要求更高。

二、时域分析法

时域分析是通过直接求解系统在典型输入作用下的时域响应来评价系统性能的方法，直观且物理意义明确。

核心考点：

*稳定性判据（劳斯-赫尔维茨判据，Routh-HurwitzCriterion）

*动态性能指标计算（超调量\(\sigma\%\)、调节时间\(t_s\)、峰值时间\(t_p\)、上升时间\(t_r\)等，主要针对二阶系统）

*稳态误差计算（StaticandDynamicErrorCoefficients）

解题思路与步骤：

1.稳定性分析（劳斯判据）：

*首先将系统闭环特征方程整理为标准形式（最高次幂系数为正）。

*检查特征方程系数：若有缺项或系数异号，则系统不稳定。

*构造劳斯表：按规则计算各元素。

*根据劳斯表第一列元素符号判断稳定性：若第一列元素全为正，则系统稳定；若有符号变化，其变化次数等于右半S平面根的个数。

*特殊情况处理：当某行首元素为零，而该行其余元素不全为零时，可用一个极小的正数\(\epsilon\)代替零元素，继续计算并判断；当出现全零行时，需利用全零行的上一行元素构成辅助方程，求导后替换全零行，再进行判断，并可求出对称于原点的根。

2.动态性能指标计算：

*对于典型的二阶系统（传递函数\(G(s)=\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)\)），在单位阶跃输入下，其动态性能指标\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，\(t_p=\pi/(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2})\)，\(t_s\approx3/\zeta\omega_n\)（\(\pm5\%\)误差带）或\(4/\zeta\omega_n\)（\(\pm2\%\)误差带）。关键在于从系统传递函数中准确提取\(\zeta\)（阻尼比）和\(\omega_n\)（无阻尼自然频率）。

*对于高阶系统，若存在一对主导极点，则可近似按二阶系统处理，这是工程上常用的简化方法。需判断其他极点是否远离虚轴或位于主导极点的左侧足够远。

3.稳态误差计算：

*首先判断系统的型别（由开环传递函数中积分环节的个数\(v\)决定，即0型、I型、II型系统等）。

*计算静态误差系数：位置误差系数\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s)\)，速