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2025年湖南省专升本高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。因此f(x)在区间（∞，1）内单调递增，在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增。故f(x)在区间（∞，+∞）内先减后增。

2.设函数y=e^x+lnx，则该函数的极值点是（）

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.无极值点

答案：B

解析：求导得y=e^x+1/x，令y=0，得x=1。当x1时，y0；当x1时，y0。因此x=1是函数的极小值点。

3.已知函数f(x)=2x^33ax^2+4，若f(x)在x=1处取得极大值，则a的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：求导得f(x)=6x^26ax，令f(x)=0，得x=0或x=a。由于f(x)在x=1处取得极大值，故a=1。代入f(x)得f(1)=66a=0，解得a=1。但a=1时，f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意。故a=3。

4.设函数y=x^33x+2，求y在x=2处的切线方程（）

A.y=3x4

B.y=3x6

C.y=6x8

D.y=6x10

答案：D

解析：求导得y=3x^23，代入x=2得y(2)=9。切线斜率为9，切点坐标为（2，2^33×2+2）=（2，6）。切线方程为y6=9(x2)，即y=6x10。

5.设函数y=x^2+2x+1，求y的拐点坐标（）

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,1)

D.(1,2)

答案：C

解析：求二阶导得y=2，拐点处二阶导数为0。求一阶导得y=2x+2，令y=0得x=1。代入y得y(1)=(1)^2+2×(1)+1=0。拐点坐标为（1，0）。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内的一阶导数f(x)=_______。

答案：2x+2

2.设函数y=lnx，则y在x=e处的切线斜率为_______。

答案：1

3.已知函数f(x)=e^xx^2，求f(x)在x=0处的二阶导数f(x)=_______。

答案：e^x2x

4.设函数y=x^33x+2，求y在x=2处的切线方程为_______。

答案：y=6x10

5.设函数y=x^2+2x+1，求y的拐点坐标为_______。

答案：（1，0）

三、解答题（共50分）

1.（10分）已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间和极值。

解答：求导得f(x)=3x^26。令f(x)=0，得x=±√2。当x√2时，f(x)0；当√2x√2时，f(x)0；当x√2时，f(x)0。故f(x)的单调递增区间为（∞，√2）和（√2，+∞），单调递减区间为（√2，√2）。当x=√2时，f(x)取得极大值，f(√2)=2√2+9；当x=√2时，f(x)取得极小值，f(√2)=2√2+9。

2.（15分）已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的拐点坐标。

解答：求二阶导得f(x)=6x6。令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。故f(x)的拐点为（1，2）。

3.（15分）已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)在x=2处的切线方程。

解答：求导得f(x)=2x+2，代入x=2得f(2)=6。切线斜率为6，切点坐标为（2，2^2+2×2+1）=（2，9）。切线方程为y9=6(x2)，即y=6x10。

4.（10分）设函数y=x^33x+2，求y的单调区间。

解答：求导得y=3x^23。令y=0，得x=±1。当x1时，y