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量子力学试题

一、选择题（每题4分，共20分）

关于波函数ψ(r,t)的统计解释，下列说法正确的是（）

A.ψ(r,t)本身代表粒子的位置

B.|ψ(r,t)|2表示t时刻粒子在空间r处的概率密度

C.ψ(r,t)的积分值等于粒子的总能量

D.波函数的相位变化会改变粒子的概率分布

下列各组物理量中，满足不确定关系ΔAΔB≥?/2（?=h/(2π)）的是（）

A.位置x与动量p?

B.能量E与角动量L_z

C.角动量L?与角动量L_y

D.时间t与位置x

定态薛定谔方程的解ψ(r,t)具有的形式是（）

A.ψ(r)e^(iEt/?)

B.ψ(r)e^(-iEt/?)

C.ψ(t)e^(iEr/?)

D.ψ(t)e^(-iEr/?)

氢原子基态（n=1,l=0）的波函数中，角向部分Y??(θ,φ)的取值为（）

A.√(1/(4π))

B.√(3/(4π))cosθ

C.√(3/(8π))sinθe^(iφ)

D.√(1/(2π))

自旋为1/2的粒子，其自旋角动量在z方向的投影S_z的可能取值为（）

A.0和?

B.-?/2和?/2

C.-?和?

D.-?/2、0和?/2

二、填空题（每空3分，共30分）

波函数需满足的三个基本条件是：、、________。

自由粒子（势场V(r)=0）的定态薛定谔方程为：________。

力学量算符?的本征方程形式为________，若粒子处于?的本征态，则测量该力学量的结果一定是________。

氢原子的能量本征值E?=________（用里德伯常数R、普朗克常数h、光速c表示），其能量只与量子数________有关。

自旋角动量的平方算符S2的本征值为________，自旋角动量的三个分量算符S?、S_y、S_z之间满足的对易关系为________。

三、简答题（每题10分，共20分）

简述“量子力学中力学量用厄米算符表示”的原因，并说明厄米算符的两个重要性质。

解释氢原子光谱的精细结构产生的物理原因，简要说明相关物理效应的作用过程。

四、计算题（每题15分，共30分）

一粒子在一维无限深势阱中运动，势阱形式为：

V(x)=0，(0xa)；V(x)=∞，(x≤0或x≥a)

已知粒子的波函数为ψ(x)=Asin(nπx/a)（n为正整数），求：

（1）归一化系数A；

（2）粒子的能量本征值；

（3）t时刻粒子的波函数ψ(x,t)。

自旋为1/2的粒子处于自旋态|ψ?=c?|+?+c?|-?，其中|+?和|-?分别是S_z的本征值为?/2和-?/2的本征态，且满足归一化条件。

（1）求系数c?和c?满足的关系；

（2）计算S?在该态下的平均值?S??；

（3）若测量S_z，求得到结果为?/2的概率。

量子力学试题答案

一、选择题（每题4分，共20分）

B

解析：波函数的统计解释为|ψ(r,t)|2表示t时刻粒子在空间r处的概率密度（A错误，ψ不直接代表位置；C错误，波函数积分与概率相关，非能量；D错误，相位变化不改变|ψ|2，即概率分布不变）。

A

解析：不确定关系适用于共轭物理量，位置x与动量p?是典型共轭量（B中E与L_z非共轭；C中L?与L_y满足对易关系，但不确定关系形式为ΔL?ΔL_y≥?|?L_z?|/2，非普适?/2；D中t与x非共轭）。

B

解析：定态波函数满足ψ(r,t)=ψ(r)e^(-iEt/?)，其中E为能量本征值，时间部分由薛定谔方程分离变量得到（A中指数符号错误；C、D中空间与时间变量分离形式错误）。

A

解析：氢原子角向波函数Y_lm(θ,φ)中，l=0、m=0时，Y??(θ,φ)=√(1/(4π))（B为l=1、m=0的Y??；C为l=1、m=±1的Y?±?；D非氢原子角向波函数）。

B

解析：自旋为s的粒子，S_z的本征值为m_s?，m_s=-s,-s+1,…,s；s=1/2时，m_s=±1/2，故S_z取值为±?/2。

二、填空题（每空3分，共30分）

单值性、连续性、有限性（或归一性，答出前三者即可）

[-?2/(2m)]d2ψ/dx2=Eψ（或三维形式[-?2/(2m)]?2ψ=Eψ）

?|ψ?=a|ψ?（或?ψ=aψ）；该算符的本征值a

-Rhc/n2（R为里德伯常数）；主量子数n

s(s+1)?2=3?2/4（s=1/2）；[S?,S_y]=i?S