数学分析期末考试题及答案.docx

数学分析期末考试题

一、选择题（每题3分，共15分）

下列数列中，极限为1的是（）

A.x_n=\frac{n}{n+1}B.x_n=(-1)^nC.x_n=nD.x_n=\frac{1}{n}

函数f(x)=|x|在点x=0处（）

A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导

若函数f(x)=x^2-2x，则其在点x=2处的切线方程为（）

A.y=2x-4B.y=2xC.y=-2x+8D.y=-2x

下列函数中，在区间[0,2]上不满足拉格朗日中值定理条件的是（）

A.f(x)=x^2B.f(x)=\ln(1+x)C.f(x)=\frac{1}{x-1}D.f(x)=\sinx

函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点为（）

A.x=0B.x=1C.x=2D.不存在

二、填空题（每题3分，共15分）

极限\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=______

设f(x)=e^{2x}+\sqrt{x+1}，则f(x)=______

由方程x^2+y^2=4确定的隐函数y=y(x)在点(\sqrt{2},\sqrt{2})处的导数y=______

函数f(x)=x^3-x在点x=1处的微分dy=______

函数f(x)=x+\frac{1}{x}在区间[1,2]上的最大值为______

三、解答题（每题10分，共70分）

计算极限\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x

设函数f(x)=x^3-3x+1，求其在点x=1处的切线方程和法线方程

求函数f(x)=x^4-2x^2+3的单调区间和极值

证明：当x0时，\ln(1+x)x

计算不定积分\int(x^2+\sinx)dx

计算定积分\int_{0}^{1}x^2dx

求由曲线y=x^2与直线y=2x所围成的平面图形的面积

数学分析期末考试题答案

一、选择题（每题3分，共15分）

答案：A

解析：\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1；B选项极限不存在；C选项极限为+\infty；D选项极限为0。

答案：B

解析：\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)，故连续；f_-(0)=-1，f_+(0)=1，左右导数不相等，故不可导。

答案：A

解析：f(x)=2x-2，f(2)=2，f(2)=0，切线方程为y-0=2(x-2)，即y=2x-4。

答案：C

解析：f(x)=\frac{1}{x-1}在x=1\in[0,2]处无定义，不连续，不满足拉格朗日中值定理“闭区间连续”的条件。

答案：C

解析：f(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0，得x=0或x=2。当x0时，f(x)0；0x2时，f(x)0；x2时，f(x)0，故x=2是极小值点。

二、填空题（每题3分，共15分）

答案：2

解析：\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2\times1=2

答案：2e^{2x}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}

解析：(e^{2x})=2e^{2x}，(\sqrt{x+1})=\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}，故f(x)=2e^{2x}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}

答案：-1

解析：对x^2+y^2=4两边求导得2x+2yy=0，即y=-\f