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中学数学一次函数应用题

一次函数是中学数学中连接代数与实际问题的重要桥梁，其简洁的表达式与清晰的图像特征，使得它在解决各类实际问题时具有广泛的应用。掌握一次函数应用题的解法，不仅能够深化对函数概念的理解，更能提升运用数学知识分析和解决实际问题的能力。本文精选了若干典型例题，并辅以细致解析，旨在帮助同学们更好地把握此类问题的解题脉络。

一、行程问题中的一次函数

行程问题是一次函数应用的经典场景，通常涉及速度、时间、路程三个基本量。当速度保持不变时，路程与时间成正比例关系，这是一次函数的特殊形式；当涉及分段行驶或不同对象的运动时，一次函数的表达式则更为丰富。

例题1：

小明骑自行车从家出发前往学校，最初以某一恒定速度匀速行驶。途中，因自行车出现故障，他停留了几分钟进行修理。故障排除后，他以比原来更快的速度匀速骑行至学校。已知小明家到学校的总路程为若干千米，下列图像中，能大致反映小明离家的距离（千米）与出发时间（分钟）之间函数关系的是？（请同学们自行思考图像特征，此处重点分析函数关系的建立）

解析：我们来分析整个过程。设出发时间为\(t\)分钟，离家距离为\(s\)千米。

1.初始行驶阶段：小明以恒定速度\(v_1\)骑行，此时\(s\)与\(t\)成正比例关系，即\(s=v_1t\)（\(t\)在故障发生前）。这段图像是一条过原点的倾斜直线。

2.停留修理阶段：时间在增加，但距离不再变化，此时\(s\)为常数，函数图像是一条平行于\(t\)轴的水平线段。

3.故障排除后行驶阶段：小明以更快的速度\(v_2\)（\(v_2v_1\)）骑行，此时\(s=s_0+v_2(t-t_0)\)，其中\(s_0\)是故障发生时的距离，\(t_0\)是故障排除并重新出发的时间。这段图像仍是一条倾斜直线，但斜率（即速度）比初始阶段更大。

综合以上分析，我们就能判断出正确的图像应该具有“上升—水平—更陡上升”的三段特征。

例题2：

甲、乙两地相距\(S\)千米，一辆快车和一辆慢车同时从甲地出发驶向乙地。快车的速度是慢车速度的\(k\)倍（\(k1\)）。快车到达乙地后立即沿原路返回，在途中与慢车相遇。设慢车行驶的时间为\(t\)小时，两车之间的距离为\(y\)千米，求\(y\)与\(t\)之间的函数关系式（相遇前和相遇后）。

解析：设慢车速度为\(v\)，则快车速度为\(kv\)。

*相遇前（快车未到达乙地或到达乙地但尚未与慢车相遇）：

此阶段，快车在前，慢车在后。快车行驶路程为\(kvt\)，慢车行驶路程为\(vt\)。两车距离\(y=kvt-vt=(k-1)vt\)。但需注意快车到达乙地的时间点\(t_1=S/(kv)\)。若在\(t_1\)时刻前两车已相遇（这种情况取决于\(k\)值和\(S\)，对于\(k1\)，通常快车先到乙地），则此表达式仅适用于\(t\)从0到两车相遇或快车到达乙地的较早者。

*快车到达乙地后返回与慢车相遇：

快车到达乙地用时\(t_1=S/(kv)\)，此时慢车行驶了\(vt_1=S/k\)千米，两车相距\(S-S/k=S(k-1)/k\)千米。之后快车以速度\(kv\)返回，慢车继续以速度\(v\)前进，此时变为相遇问题，共同行驶距离为\(S(k-1)/k\)，速度和为\(v+kv=v(k+1)\)。设从快车到达乙地到两车相遇用时\(t\)，则\(v(k+1)t=S(k-1)/k\)，解得\(t=S(k-1)/(kv(k+1))\)。相遇时总时间\(t_2=t_1+t\)。

在\(t_1\)到\(t_2\)时间段内，慢车离甲地距离仍为\(vt\)，快车离甲地距离为\(S-kv(t-t_1)\)。两车距离\(y=[S-kv(t-t_1)]-vt=S-kvt+kvt_1-vt\)。由于\(kvt_1=S\)，所以\(y=S-kvt+S-vt=2S-(k+1)vt\)。

（实际解题时，需根据具体数值确定各阶段的时间范围，并写出分段函数表达式。）

二、经济生活中的一次函数

一次函数在购物、收费、利润计算等经济活动中应用广泛。例如，水电费的计算、商品的总价、出租车费用等，常常可以用一次函数来建模。

例题3：

某城市的出租车收费标准如下：3公里以内（含3公里）收取起步价\(m\)元；超过3公里的部分，每公里加收\