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教学竞赛题库及答案高中

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）

A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)

答案：B

解析：对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，此函数中\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

2.已知\(a=(1,-2)\)，\(b=(3,4)\)，则\(a\cdotb\)等于（）

A.-5B.-1C.5D.11

答案：A

解析：向量点积公式为\(a\cdotb=a_1b_1+a_2b_2\)，则\(a\cdotb=1×3+(-2)×4=3-8=-5\)。

3.下列双曲线中，渐近线方程为\(y=\pm2x\)的是（）

A.\(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)

C.\(\frac{y^2}{4}-x^2=1\)D.\(y^2-\frac{x^2}{4}=1\)

答案：A

解析：对于双曲线\(x^2-\frac{y^2}{a^2}=1\)，其渐近线方程为\(y=\pmax\)，这里\(a=2\)，所以渐近线方程为\(y=\pm2x\)。

4.若\(\log_a2\lt\log_b2\lt0\)，则（）

A.\(0\lta\ltb\lt1\)B.\(0\ltb\lta\lt1\)

C.\(a\gtb\gt1\)D.\(b\gta\gt1\)

答案：B

解析：因为\(\log_a2\lt\log_b2\lt0=\log_a1=\log_b1\)，根据对数函数单调性，当对数小于0时，底数在\(0\)到\(1\)之间，且真数相同时，底数越小对数越小，所以\(0\ltb\lta\lt1\)。

5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_1=1\)，\(S_3=a_5\)，\(a_m=2019\)，则\(m=\)（）

A.1010B.1011C.1012D.1013

答案：B

解析：设等差数列公差为\(d\)，\(S_3=3a_1+3d=3+3d\)，\(a_5=a_1+4d=1+4d\)，由\(S_3=a_5\)得\(3+3d=1+4d\)，解得\(d=2\)。\(a_m=a_1+(m-1)d=1+2(m-1)=2019\)，解得\(m=1011\)。

6.函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的单调递减区间是（）

A.\((-\infty,0)\)B.\((0,2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)

答案：B

解析：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)，令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x(x-2)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，所以单调递减区间是\((0,2)\)。

7.已知直线\(l\)过点\((0,7)\)，且与直线\(y=-4x+2\)平行，则直线\(l\)的方程为（）

A.\(y=-4x-7\)B.\(y=4x-7\)

C.\(y=-4x+7\)D.\(y=4x+7\)

答案：C

解析：两直线平行斜率相等，直线\(y=-4x+2\)斜率为\(-4\)，设直线\(l\)方程为\(y=-4x+b\)，把点\((0,7)\)代入得\(b=7\)，所以直线\(l\)方程为\(y=-4x+7\)。

8.设\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\geq-1\\2x-y\leq2\end{cases}\)，则\(z=3x-y\)的最大值为（）

A.-8B.-4C.2D.4

答案：D

解析：画出可行域，通过平移目标函数\(z=3x-y\)的直线，当直线经过点\((2,2