算法合集之动态规划算法时间效率的优化.pptVIP

第1页，共13页，星期日，2025年，2月5日动态规划算法的时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间第2页，共13页，星期日，2025年，2月5日一、减少状态总数二、减少每个状态转移的状态数三、减少状态转移的时间1、改进状态表示；（例一）1、减少决策时间（例三）方法：采用恰当的数据结构；2、减少计算递推式的时间方法：进行预处理，利用计算结果等；2、其他方法：选取恰当的规划方向等；1、根据最优解的性质减少决策量；（例二）2、其他方法：利用四边形不等式证明决策的单调性等；第3页，共13页，星期日，2025年，2月5日例一、??RaucousRockers演唱组（USACO`96）[问题描述]现有n首由RaucousRockers演唱组录制的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择：??(1)这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；(2)包含歌曲的总数尽可能多。输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。第4页，共13页，星期日，2025年，2月5日设n首歌曲按照创作顺序排序后的长度为long[1..n]，则动态规划的状态表示描述为：g[i,j,k]，(0≤i≤n，0≤j≤m，0≤kt),表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目。状态转移方程为：当k≥long[i]，i≥1时：g[i,j,k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]+1，g[i-1,j,k]}当klong[i]，i≥1时：g[i,j,k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]+1，g[i-1,j,k]}规划的边界条件为：当0≤j≤m，0≤kt时：g[0,j,k]=0;问题的最优解为：g[n,m,0]。算法的时间复杂度为：O(n*m*t)。第5页，共13页，星期日，2025年，2月5日改进的状态表示描述为：g[i,j]=(a,b)，0≤i≤n，0≤j≤i，0≤a≤m，0≤b≤t，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。状态转移方程为：g[i,j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long[i]}其中(a,b)+long[i]=(a’,b’)的计算方法为：当b+long[i]≤t时：a’=a;b’=b+long[i];当b+long[i]＞t时：a’=a+1;b’=long[i];规划的边界条件：当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)题目所求的最大值是：answer=max{k|g[n,k]≤(m-1,t)}算法的时间复杂度为：O(n2)。Back第6页，共13页，星期日，2025年，2月5日例三、石子合并问题(NOI`95)[问题描述]在一个操场上摆放着一圈n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分。试编程求出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分以及相应的合并方案。本例只考虑最大得分。第7页，共13页，星期日，2025年，2月5日ij规划的边界条件为：m[i,i]=0令s[i,j]=k，表示合并的最优断开位置。算法的时间复杂度为O(n3)。设各堆的石子数依次为d[1..n]，则动态规划的状态表示为：m[i,j]，1≤i,j≤n，表示合并d[i..j]所得到的最大得分：令，则状态转移方程为：第8页，共13页，星期日，2025年，2月5日合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于i，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：{(i)(i+1…j)}或{(i…j-1)(j)}证明：设合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]=p，且ipj-1。情况1、t[i,p]≤t[p+1,j]由于ip，所以可以设q=s[i,p]。于是最优合并方案为：{[(i…q)(q+1...p)](p+1…j)}