线性组合与线性相关.pptVIP

第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日二、向量组的线性组合1.线性表示：如果β=k1?1+k2?2+···+ks?s，则称β可由?1,?2,···,?s线性表示，或称β是?1,?2,···,?s的线性组合。2.β能由?1,?2,···,?s线性表示的含义是线性方程组x1?1+x2?2+···+xs?s=β有解，其充要条件是r(A)=r(A|β)注：判断β能不能由?1,?2,···,?s线性表示的方法：把矩阵(?1,?2,···,?s,β)变换为行阶梯形矩阵，并从中观察r(?1,?2,···,?s)和r(?1,?2,···,?s,β)，进行比较。即r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β)第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日例：设有向量组?1=(1,0,2)T,?2=(1,2,0)T,?3=(2,1,3)T,?4=(2,5,－1)T，试问?4是否可由?1,?2,?3线性表示？若可以，写出表示式。解：设有数x1,x2,x3,使得x1?1+x2?2+x3?3=?43所以方程组有无穷多解，即?4可由?1,?2,?3线性表示，且表示方式不唯一。第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日对继续施行初等行变换，最后一个矩阵对应的线性方程组为：若取x3=1，所以:－2?1+2?2+?3=?4若取x3=－1，所以：?1+3?2－?3=?4有:x1=－2有:x1=1,x2=2,,x2=3,第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日三、向量组的线性相关性1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,使得k1?1+k2?2+···+ks?s=O.若k1,k2,···,ks必须全为零，则称?1,?2,···,?s线性无关。2.?1,?2,···,?s线性相关的含义是齐次线性方程组x1?1+x2?2+···+xs?s=O有非零解，（即Ax=0）线性无关的含义是方程组其充要条件是r(A)=s,r(A)s,即r(?1,?2,···,?s)s.只有零解即r(?1,?2,···,?s)=s.第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日例：设有向量组?1=(1,0,－1,2)T,?2=(－1,－1,2,－4)T,?3=(2,3,－5,10)T,试讨论向量组?1,?2,?3及向量组?1,?2的线性相关性。解：3所以?1,?2,?3线性相关；所以?1,?2线性无关。第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日例：如果β可由?1,?2,···,?s线性表示，则表示法唯一的充要条件是?1,?2,···,?s线性无关。r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β)x1?1+x2?2+···+xs?s=β分析：β可由?1,?2,···,?s线性表示有解?1,?2,···,?s线性无关。r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β)=s在此前提下x1?1+x2?2+···+xs?s=β有唯一解，表示法唯一第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日例：如果?1,?2,···,?s线性无关，?1,?2,···,?s,β线性相关，则β可由?1,?2,···,?s线性表示。r(?1,?2,···,?s)=s分析：?1,?2,···,?s线性无关从而β可由?1,?2,···,?s线性表示。?1,?2,···,?s,β线性相关r(?1,?2,···,?s,β)r(?1,?2,···,?s)r(?1,?2,···,?s,β)s+1≤s=所以：r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β)方程组有唯一解而且：x1?1+x2?2+···+xs?s=β有解s+1r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β)=s，表示法唯一。第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日定理：若?1,?2,···,?s线性无关，而?1,?2,···,?s,β线性相关，则β可由?1,?2,···,?s线性表示，且表示法唯一。四、线性相关性与线性组合的关系1.定理：向量组?1,?2,···,?s(s≥2)线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示。例：判断α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3=(4,3,4)T是否线性相关。解：显然?1+?2=?3，所以?1+?2－?3=O.从而α1,α2,α3线性相关。