数值分析牛顿科特斯公式.pptVIP

第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日牛顿-科特斯公式等距节点的插值型求积公式称为牛顿-科特斯公式：取等距节点：xi=a+ih，，i=1,2,…,n令x=a+th得：插值型求积公式其中第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日牛顿-科特斯公式（续）注：Cotes系数仅取决于n和i，可通过查表得到。与被积函数f(x)及积分区间[a,b]均无关。科特斯(Cotes)系数牛顿-科特斯公式：第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日几个常见公式n=1:代数精度=1梯形求积公式n=2:代数精度=3抛物线求积公式Simpson求积公式n=4:科特斯(Cotes)求积公式TSC第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日科特斯系数表第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日系数特点和稳定性科特斯系数具有以下特点：(1)(2)(3)当n?8时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当n较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。当n?7时，牛顿-科特斯公式是稳定的。第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日牛顿-科特斯公式的代数精度定理当n为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有n+1阶代数精度。证：只要证明当n为偶数时，公式对f(x)＝xn+1精确成立。由插值型求积公式的误差公式得作变量代换x=a+th，并将xi=a+ih代入得再作变量代换t=n-s，得又n偶数第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日余项梯形公式的余项中值定理Simpson公式的余项三次Hermite插值第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日余项的一般形式定理(1)若n为偶数，f(x)?Cn+2[a,b]，则存在??(a,b)使得设，则有(2)若n为奇数，f(x)?Cn+1[a,b]，则存在??(a,b)使得第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日举例（一）例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分解：a＝0,b＝1,f(x)=e-x，由simpson公式可得由梯形公式可得与精确值0.6321相比得误差分别为0.0518和0.0002。第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日复合求积公式提高积分计算精度的常用两种方法用复合公式用非等距节点复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。将[a,b]分成n等分[xi,xi+1]，其中节点(i=0,1,…,n)第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日复合梯形公式复合梯形公式:Tn余项：，??(a,b)第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日复合simpson公式复合simpson公式:Sn余项：，??(a,b)44444第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日复合科特斯公式复合cotes公式:Cn余项：，??(a,b)第14页，共30页，星期日，2025年，2月5日举例（二）解：例：设，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算积分xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841第15页，共30页，星期日，2025年，2月5日h很小时的误差?i?(xi,xi+1)(h0)定积分定义即同理第16页，共30页，星期日，2025年，2月5日收敛速度与误差估计定义若一个积分公式的误差满足且C?0，则称该公式是p阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同第17页，共30页，星期日，2025年，2月5日Q:给定精度?，如何取n?例如：要求