第二节行列式的基本性质与计算.pptVIP

第二节行列式的基本性质与计算第1页，共51页，星期日，2025年，2月5日

定义3设一、行列式的基本性质性质1.行列式与它的转置行列式相等,即第2页，共51页，星期日，2025年，2月5日

因为性质2.互换两行(列),行列式改变符号.注：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以第3页，共51页，星期日，2025年，2月5日

注:换行:换列:即例如:第4页，共51页，星期日，2025年，2月5日

又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;第5页，共51页，星期日，2025年，2月5日

若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.第6页，共51页，星期日，2025年，2月5日

推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即第7页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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证明:当i=1时，由行列式的定义知第9页，共51页，星期日，2025年，2月5日

当i1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．第10页，共51页，星期日，2025年，2月5日

性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即证:当i=1时，由行列式的定义知第11页，共51页，星期日，2025年，2月5日

当i1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题．第12页，共51页，星期日，2025年，2月5日

(第j行)推论20.(第i行)也就是推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.第13页，共51页，星期日，2025年，2月5日

性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即第14页，共51页，星期日，2025年，2月5日

又注意:注:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.第15页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例1.计算解:D第16页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第17页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得第18页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第19页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例3.计算n阶行列式解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:第20页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第21页，共51页，星期日，2025年，2月5日

解法二(镶边法)当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时第22页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第23页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例：计算解：第24页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第25页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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引理一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都为零，那末此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即二、行列式按任一行(列)展开根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.例如第27页，共51页，星期日，2025年，2月5日

也就是:若则第28页，共51页，星期日，2025年，2月5日

(1).当位于第一行第一列的情形,即证明:先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时第29页，共51页，星期日，2025年，2月5日

得第30页，共51页，星期日，2025年，2月5日

其中得第31页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第32页，共51页，星期日，2025年，2月5日

于是证毕.定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素