15.2 线段的垂直平分线 教案 沪科版数学八年级上册.docxVIP

15.2线段的垂直平分线

证明、理解线段垂直平分线的性质，并会准确运用性质解决有关问题，能用尺规作出线段的垂直平分线.

1.线段垂直平分线的性质定理.

2.线段垂直平分线的判定.

1.尺规作图：几何中，只用没有刻度的直尺和圆规来作图，这种作图的方法叫作尺规作图.

2.线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

知识点一线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

如图所示，P是线段AB垂直平分线上的点，则PA＝PB.

特别提示：（1）线段垂直平分线上的所有点都满足到线段两个端点的距离相等.

（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴.

（3）线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依据之一，在证明线段相等时，不用再证明两个三角形全等了，简便了证明过程.

【例1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于点D，交AB于点E，量得△BDC的周长为17m.请你替测量人员计算BC的长.

【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.

【解】∵ED是AB的垂直平分线，∴DA＝DB.

∵△BDC的周长为17m，

∴DB＋DC＋BC＝17m，

∴DA＋DC＋BC＝17m，

即AC＋BC＝17m.

又∵AB＝AC＝10m，

∴10＋BC＝17m，∴BC＝7m.

【迷津指点】线段的垂直平分线上任意一点和线段的两个端点连接，利用线段垂直平分线的性质定理可以得到线段的相等关系.

知识点二线段垂直平分线的判定定理

线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

特别提示：（1）此定理的作用是判定点是否在线段的垂直平分线上；

（2）若一点到一条线段AB两端点的距离相等，则这一点在线段AB的垂直平分线上，且这样的点有无数个.

【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D.求证：点D在线段AB的垂直平分线上.

【解析】要证明点D在线段AB的垂直平分线上，只需证明AD＝BD.首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义，求得∠ABD＝30°.过点D作DE⊥AB于点E，利用AAS可证明△AED≌△BED，∴AD＝BD.

【解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝12∠ABC＝12×60°＝

∴∠A＝∠ABD.

如图，过点D作DE⊥AB于点E.

在△AED与△BED中，

∠

∴△AED≌△BED（AAS），∴DA＝DB，

∴点D在线段AB的垂直平分线上.

知识点三垂直平分线的作法

1.用刻度尺找出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法.

2.折叠法.

3.尺规作图.用尺规作出线段AB的垂直平分线，作法如下：

（1）如图，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D

（2）过C，D两点作直线.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

特别提示：（1）用尺规作线段AB的垂直平分线时，半径是大于12AB的任意长.原因：只有当半径大于12AB时，两弧才能相交，

（2）灵活运用线段垂直平分线的尺规作图法，既可作出已知线段的中点，又可作出已知直线上一点处的垂线.

【例3】如图，一张纸上有一条线段AB.

（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）；

（2）若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法（不作图）.

【解析】（1）根据垂直平分线的作法，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，连接交点即是线段AB的垂直平分线；（2）利用对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线

【解】（1）如图所示，MN即为所求.

（2）对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线.

【迷津指点】此题考查了有关线段垂直平分线的作图能力，属于基础题.

知识点四三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

特别提示：（1）它的逆命题也成立，即到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.

（2）要确定到三个顶点距离相等的点，只需作出三角形任意两条边的垂直平分线即可，无需将三条边的垂直平分线均作出来.

【例4】现有不在一条直线上的A，B，C三座城市.

（1）在A，B两城市之间建一水果仓库，使其到A，B两城市的距离相等，水果仓库位置唯一吗？它们的位置有什么关系？

（2）在B，C两城市之间建一果品批发市场，使其到B，C两城市的距离相等，果品批发市场位置唯一吗？它们的位置有什么关系？

（3）为减少运费，现将果品批发市场