现代控制理论稳定性.pptVIP

由于不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面相切。然而,由于对于任意和任意在时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上），而必须运动到原点.第30页，共54页，星期日，2025年，2月5日例3.2设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解:显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即（V(X)为正定）当时，因此是负半定的。第31页，共54页，星期日，2025年，2月5日下面我们进一步分析的定号性，即当时，是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求在时恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但从状态方程来看，在时，要使和，必需满足等于零的条件。这表明只可能在原点处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于时,有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。第32页，共54页，星期日，2025年，2月5日若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即则是负定的。而且当时，有所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由以上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对判别的必要性。第33页，共54页，星期日，2025年，2月5日定理3.3设系统方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的，但在某一X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。第34页，共54页，星期日，2025年，2月5日例3.3系统方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即则由上式可见，在任意X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的．但不是渐近稳定的。第35页，共54页，星期日，2025年，2月5日定理3.4设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定的；在同样的领域内是正定的；则在原点处的平衡状态是不稳定的。第36页，共54页，星期日，2025年，2月5日例3.4设时变系统的状态方程为显然坐标原点为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。第37页，共54页，星期日，2025年，2月5日解可以找一个函数为显然，为一标量函数，在平面上的第一、三象限内，有是正定的。在此区域内取的全导数得所以当时，因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。返回第38页，共54页，星期日，2025年，2月5日第1页，共54页，星期日，2025年，2月5日第三章控制系统的李亚普诺夫

稳定性§3.1李亚普诺夫第二法概述§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性§3.3李亚普诺夫稳定性定理§3.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析第2页，共54页，星期日，2025年，2月5日§3.1李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。第3页，共54页，星期日，2025年，2月5日举例说明：1.电压自动调节系统--保持电机电压恒定2.电机自动调速系统--保持电机转速一定3.火箭飞行系统--保持航向为一定具有稳定性的系统称为稳