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基于UbD理论的深度理解导向教学设计

三角恒等变换是高中数学的核心内容，也是连接几何与代数的桥梁。UbD理论（UnderstandbyDesign）是基于理解的教学设计，是以始为终的逆向教学设计，有利于学生理解知识，促进深度学习。三角恒等变换符号抽象、公式多、逻辑关联性强、应用场景复杂，而UbD理论强调结合实际场景设计教学，让学生明白知识的价值，提升解决实际问题的能力，克服应用难题。下面探索UbD理论在数学公式教学中的应用路径，在实践层面为破解“高分低能”现象提供教学设计范式。

一、UbD理论核心三阶段解析

（一）阶段1：明确预期结果

UbD理论核心三阶段的第一阶段是明确预期结果，即目标导向。此阶段要求教育者依据课程标准，结合学生的认知水平和学习需求，精准界定学生在学习结束后应掌握的知识、技能以及达成的理解深度。教学不是简单提出要掌握的函数知识，而是细化为能运用特定函数模型解决实际问题。这一阶段可以为后续教学活动设定清晰方向，确保教学内容紧密围绕目标展开，有助于教师合理选择教学方法和评估方式，保障教学的有效性。[3]

（二）阶段2：设计评估证据

UbD理论核心三阶段的第二阶段为设计评估证据，即证据驱动。此过程起始于对第一阶段明确的预期结果的深度理解。教师依据既定目标，构思能有效检验学生是否达成自标的评估方式。采用表现性任务，让学生在实际情境中运用知识与技能解决问题，以此观察其理解与应用的能力；也可设计书面测试，考查学生对关键概念的掌握程度。同时，要确保评估标准具体、可操作，从多个维度量化学生的表现，使评估结果真实反映学生的学习成果，为后续教学调整提供有力依据。

（三）阶段3：规划学习体验

UbD理论核心三阶段的第三阶段是规划学习体验，即活动适配。这一过程要紧密围绕前两阶段明确的预期结果和设计的评估证据展开。教师依据教学目标，选择多样且契合的教学方法，如用讲授法传递关键知识，用探究法培养学生的自主思考能力。随后，安排丰富的学习活动，如小组讨论、项目实践等，让学生在实践中深化理解、锻炼技能。同时，充分考量学生的个体差异，确保活动难度适中、参与度高，促进每个学生在学习中都能有所收获，最终达成预期的学习成果。

二、基于UbD理论的三角恒等变换教学设计

（一）阶段1：确定预期结果—以终为始的目标统整

1.课程标准与大概念提取

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，人教版必修一“三角恒等

变换\章节的核心内容为：

和（差）角公式：以余弦差角公式为基础，推导正弦、正切公式；

倍角与半角公式：由和角公式变形得到，强调公式之间的内在联系；

简单三角式化简：利用公式进行求值、证明及简单实际应用。

结合UbD理论，提炼出的本单元的大概念为：推导三角恒等变换相关公式并进行实际应用”。

2.核心问题设计

（1）如何从已有公式推导新公式？（如用差角公式推导正弦和角公式）（2）面对复杂三角式时，如何选择最简的变形路径？（3）公式中的角度变量替换对变形结果有何影响？（如用代替生成倍角公式）

3.三层级教学目标的设定（见表1）

（二）阶段2：设计评估证据一—聚焦公式运用

1.表现性任务

音频合成器的波形化简：某电子音乐合成器同时生成两种基础波形：波形A：y1=4cosθ和波形B：y1=3cos（60°-θ），。工程师需要将合成后的信号y=y1+y2转换为单一余弦函数的形式：y=Kcos（θ+φ），以便进行滤波处理。

2.表现性任务评估依据（1）公式应用准确性。

核心标准：正确展开余弦差角公式cos（θ-β）避免出现符号错误或角度拆分不当的错误。

典型证据：是否准确保留与sin60°的系数，在展开过程中是否会出现如cos（60°-θ）=cos60°-cosθ的机械拆分错误。

（2）代数变形逻辑性。

核心标准：合理合并同类项，保证变形过程的连贯性。

典型证据：合并含有cosθ的项时是否会遗漏系数，能否解释从acosθ+bsinθ到Kcos（θ+φ）转化的必要性。

（3）三角恒等式迁移能力。

核心标准：利用三角恒等式（如cos2φ+sin2φ=1））构造振幅与相位角关系。

典型证据：是否能通过平方相加消元法求振幅，能否从cosφ与sinφ的比值推导相位角φ。

（三）阶段3：规划学习活动—分层递进训练

1.基础训练（公式推导与简单应用）

活动1：公式生成及推导。

引导学生在平面直角坐标系中完成差角余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的推导，之后完成以下推导：

令β=-β，导出余弦和角公式。

利用诱导公式sinθ=cos（90°-θ）推导正弦和角公式。

利用联立消元法推导正切和角公式。

典型成果：学生发现，将步骤2中的关键代换展开，即可成