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山西省吕梁市第一中学2024-2025学年高一下学期第七次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则的虚部为（????）

A． B． C．2 D．

2．设，，若，则（????）

A． B．0 C．6 D．

3．已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件“第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（????）

A． B．为不可能事件

C．事件A，B相互独立 D．

5．在中，角所对三条边为，已知，则角（???）

A． B． C． D．

6．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（???）

A． B． C． D．

7．某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（????）

A．15 B．16 C．17 D．18

8．中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（????）

A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形

C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形

二、多选题

9．在中，，D为边BC上一动点，则（???）

A．

B．△ABC的外接圆半径为

C．当D为BC中点时，

D．当AD为角A的角平分线时，

10．正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰品的制作.正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感.如图是一块正六边形瓷砖，它的边长为1，点是内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．若为的中点，在上的投影向量为

D．的最大值为

11．正方体的棱长为分别为的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（????）

??

A．直线与所成角的余弦值为

B．三棱锥的体积为定值

C．平面截正方体所得的截面周长为

D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题

12．若一组数据的方差为3，则的方差为.

13．已知事件A与事件B互相独立，且，，则.

14．已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是．

四、解答题

15．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

(1)设分别为的中点，求证：平面；

(2)求证：平面；

17．翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响．

(1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率；

(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

??

(1)求B；

(2)已知D为边AB上的一点，且.

（ⅰ）若，，求AC的长；

（ⅱ）求的取值范围.

19．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：

(1)试将写成三角形式；

(2)已知，，，求的值；

(3)设，，，当时，求的最大值和最小值.

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