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山西省吕梁市第一中学2024-2025学年高一下学期第五次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则实数（???）

A． B． C． D．

3．要得到的图象，需要将函数的图象（????）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

4．在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（???）

A． B． C． D．

5．下列命题正确的是（????）

A．锐角三角形中，若，则角取值范围为．

B．在三角形ABC中，若，则这个三角形是等腰直角三角形．

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．

6．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（???）

A． B． C． D．

7．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（????）

??

A． B．

C． D．

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的（????）

A．若，，，则

B．若，，，，则

C．非零复数对应的向量分别为为和，若，则

D．若，则的最小值为5

10．下列命题正确的（????）

A．已知向量，若，则等于

B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为．

C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，

D．在中，，，设是的内心，若，则

11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（????）

A．球的表面积为

B．异面直线与所成角的正切值为

C．平面截球所得截面的面积为

D．点到平面的距离为

三、填空题

12．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为.

??

13．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则．

14．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：

（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．

（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．

根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为，并求出此时四边形的面积为．

四、解答题

15．已知复数，其中.

(1)若，求的值；

(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.

16．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

??

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；

(2)求该三棱柱的外接球的表面积.

17．如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.

??

(1)若点为边上的中点，

（i）用，表示，；

（ii）求，，，及的余弦值；

(2)求的取值范围.

18．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.

(1)求证：;

(2)求证：平面；

(3)求直线与平面所成角的正切值.

19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：

(1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；

(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．

（i）若，求；

（ii）求的最小值．

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