专题提升三　类碰撞模型(一)——“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型.DOCXVIP

专题提升三类碰撞模型(一)——“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型

学习目标1.理解“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型的特点。2.会应用动量和能量的观点解决有关问题。

模型一“弹簧—小球”模型

如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：

(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？

(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧的长度如何变化？

(3)小球m2的速度什么情况下最大？

提示(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。

(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。

(3)当弹簧第一次恢复原长时，小球m2的速度最大。

1.模型建构(如图所示)

2.模型特点

(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。

(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。

(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。

(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。

例1(2024·山东临沂高二期末)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2kg，B的质量mB＝3kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：

(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；

(2)滑块B的最大动能；

(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。

答案(1)15J(2)24J(3)eq\f(25,3)J

解析(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同。选取向右为正方向，根据动量守恒定律有

mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2m/s。

根据机械能守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于滑块A、B损失的动能，即

Ep＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(mA＋mB)v2

解得Ep＝15J。

(2)当A、B分离时，弹簧恢复原长，滑块B的速度最大，动能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得

mAv0＝mAvA＋mBvB

eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)

解得vA＝－1m/s，vB＝4m/s

则滑块B的最大动能Ek＝eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)＝24J。

(3)当A的速度为零时，滑块A的动能最小，根据动量守恒定律得

mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)

解得vB′＝eq\f(10,3)m/s

此时弹簧的弹性势能Ep′＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mBvB′2

解得Ep′＝eq\f(25,3)J。

训练1如图所示，A、B两滑块的质量均为m，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为d。用自然长度也为d的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块B一个向右的瞬时冲量I，求滑块A的最大速度。

答案eq\f(I,m)

解析弹簧第一次恢复原长时A的速度最大，设速度为vm，此时B的速度为vB′。

给滑块B一个向右的冲量，滑块B获得一个向右的初速度，设为vB，由动量定理得I＝mvB－0，故vB＝eq\f(I,m)，B获得冲量后，A、B及弹簧组成的系统动量和机械能均守恒，则有

mvB＝mvm＋mvB′，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)＋eq\f(1,2)mvB′2

联立解得vm＝vB＝eq\f(I,m)。

模型二“滑块—曲(斜)面类”模型

1.模型建构：如图所示，光滑斜(曲)面静置放在光滑水平地面上，滑块以速度v0冲上斜(曲)面，滑块始终未脱离斜(曲)面。

2.模型特点

(1)在相互作用过程中，滑块和斜(曲)面轨道组成的系统机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。

(2)滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝