第五代数结构.pptVIP

*abcdaabcdbbadcccdbaddcab例3：1、是群(封闭、结合、单位元、逆元)2、有生成元作业：P2001、4注：循环群的生成元不唯一。第62页，共109页，星期日，2025年，2月5日第七节陪集与拉格朗日定理一、陪集1、定义5-7.1设G,*是一个群，A,B∈2G且A≠Φ，B≠Φ，记AB={a*b|a∈A,b∈B}和A-1={a-1|a∈A}，分别称为A，B的积和A的逆。2、定义5-6.2设H,*是群G,*的一个子群，a∈G，则集合{a}H（H{a}）称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集(右陪集)，记为aH(Ha).元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。其中，aH={a*h|h∈H}，Ha={h*a|h∈H}第63页，共109页，星期日，2025年，2月5日例求群Z4,＋4之子群{0,2},+4的所有左、右陪集，Z4＝{0，1，2，3}。解所在的右陪集有H0={0,2}0={0,2}H1={0,2}1={1,3}H2={0,2}2={2,0}H3={0,2}3={3,1}所以有H0＝H2，H1＝H3，H0∪H1＝Z40H=0{0,2}={0,2} 1H=1{0,2}={1,3}2H=2{0,2}={2,0} 3H=3{0,2}={3,1}第64页，共109页，星期日，2025年，2月5日+4[0]12300123112302230133012＋402002220第65页，共109页，星期日，2025年，2月5日二、拉格朗日定理(对有限群)1、定理5-6.1拉格朗日定理Lagrange）设H,*是群G,*的一个子群，那么：(a)R={a,b|a,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且a,x∈R}，则[a]R=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。第66页，共109页，星期日，2025年，2月5日证明自反性a-1*a=e∈H对称性a,b∈R有a-1*b∈H 所以有(a-1*b)-1=b-1*a∈H传递性a,b∈R，b,c∈R则 a-1*b∈H，b-1*c∈H 所以有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c∈H 即a,c∈Rb∈[a]R当且仅当a,b∈R,即a-1*b∈H又a-1*b∈H等价于b∈aH即[a]R=aH第67页，共109页，星期日，2025年，2月5日(b)R是G的一个等价关系，则G必可划分为[a1]R,[a2]R[a3]R….[ak]R,即有H中任意h1≠h2，a∈G则有a*h1≠a*h2，所以|aiH|=|H|=m，因此2、推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。第68页，共109页，星期日，2025年，2月5日3、推论2设G,*是n阶有限群，那么对于任意的a∈G,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群G,*中的幺元。如果n为质数，则G,*必是循环群。这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群H={ai|i∈I,a∈G}，一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e,即a的阶等于m。由拉格朗日定理必有n=mk,k∈I+,因此，a的阶m是n的因子，且有。an=amk=(am)k=ek=e第69页，共109页，星期日，2025年，2月5日*eabceeabcaaecbbbceaccbae例1：(Klein四元群)第70页，共109页，星期日，2025年，2月5日又因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。例2任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群。证明：设四阶群为{e,a,b,c},*，其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾，所以a*b=c。同样地有b*a=c以及