九上数学垂径定理重难点题型：动点问题.docVIP

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2025-07-30 发布于山东
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九上数学垂径定理重难点题型：动点问题.doc

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九上数学|垂径定理

重难点题型：动点问题

【例1】如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有条。

【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．

解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，

则AM＝BM=1/2AB，

在Rt△AOM中，

AM=√OA2-OM2=√42-22=2√3.

∴AB＝2AM＝4√3，

则4√3≤过点M的所有弦≤8，

则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，

【例2】如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，求OP的取值范围.

【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝12，则利用勾股定理可计算出OH＝5，然后利用垂线段最短得到OP的范围，从而可对各选项进行判断．

解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，

∵OH⊥AB，∴AH＝BH=1/2AB＝12，

在Rt△OAH中，

OH=√OA2-AH2=√132-122=5.

∵P是弦AB上的一个动点，

∴5≤OP≤13.

【例3】如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=√3，则弦BC的最大值是多少.

【分析】过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理易知E是AB中点，得OE是△ABC中位线，则BC＝2OE，而OE≤OP，故BC≤2OP，即可得出答案．

解：过点O作OE⊥AB于E，如图：

∵O为圆心，∴AE＝BE，∴OE=1/2BC，

∵OE≤OP，∴BC≤2OP，

∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，

∴弦BC的最大值为：2OP＝2√3，

【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，求MN的最大值.

【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝75，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．

解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，

在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√602+452=75.

∵1/2×AH×BD=1/2×AD×AB，

∴AH=60×45/75=36，

∵⊙O的半径为26，

∴点O在AH上时，OH最短，

∵HM=√OM2-OH2.

∴此时HM有最大值，最大值为√262-102=24，

∵OH⊥MN，

∴MN＝2MH，

∴MN的最大值为2×24＝48，