九上数学 【弧、弦、圆心角】压轴题.docVIP

九上数学期末专题训练

【弧、弦、圆心角】压轴题

【一】已知如图24－1－40，A点是半圆上一个三等分点，B点是eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为多少？

解：作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，

连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，

此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，

连接OA，OA′，OB.

∵eq\o(AN,\s\up8(︵))＝eq\f(1,3)eq\o(MN,\s\up8(︵))，

∴∠AON＝∠A′ON＝60°.

∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))，∴∠BON＝eq\f(1,2)∠AON＝30°，

∴∠A′OB＝90°，

∴A′B＝eq\r(OA′2＋OB2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，

即AP＋BP的最小值是eq\r(2).

【二】如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD.

解：连接OB，OF.∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，

∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，

又∵OA＝OB，OA＝OF，

∴△AOB，△AOF是等边三角形，

∴AB＝AF＝AO＝OD，

∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.

【三】如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵))，连接AB，BC，CA.

(1)试确定△ABC的形状；

解：∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵))(已知)，

∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，

∴△ABC为等边三角形．

(2)若AB＝a，求⊙O的半径．

解：如图，连接OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵))(已知)，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．

又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，

∴∠BOC＝120°.

又∵OB＝OC，OE⊥BC，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a(等腰三角形三线合一)．

∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.

∴OE＝eq\f(1,2)OB.

根据勾股定理得BE2＋OE2＝OB2，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB))eq\s\up12(2)＝OB2，

解得OB＝eq\f(\r(3),3)a(负值已舍)，即⊙O的半径为eq\f(\r(3),3)a.

【四】如图，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.

求证：(1)∠BAC＝∠BCA；

证明：∵∠AOB＝∠BOC，

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA.

(2)∠ABO＝∠CBO.

解：∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，

同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.

又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，

∴∠ABO＝∠CBO.

【五】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为多少度．

解：连接CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，

∴∠A＝90°－∠B＝55°.

∵CA＝CD，

∴∠A＝∠CDA＝55°，

∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.

【六】

如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是多少．

解：∵OD平分∠BOC，

∴∠BOD＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×90°＝45°.

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠D.

又∵∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，

∴∠A＝eq\f(1,2)∠BOD＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，

∴∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.