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基于紧框架的快速磁共振成像方法研究

一、引言

磁共振成像（MRI）作为一种强大的医学成像技术，能够提供高分辨率的软组织图像，在临床诊断中发挥着至关重要的作用。然而，传统MRI采集过程耗时较长，这不仅增加了患者的不适，还限制了其在某些紧急情况和运动敏感部位成像中的应用。快速MRI技术的发展成为解决这一问题的关键，基于紧框架的方法近年来受到了广泛关注。紧框架理论为MRI信号的高效表示和重建提供了新的视角，有望显著提升成像速度，同时保持或改善图像质量。

二、紧框架基础理论

（一）框架定义

在希尔伯特空间中，框架是一组向量集合，它允许空间中的每个元素都能通过该集合中的向量进行线性表示。给定希尔伯特空间\mathcal{H}，向量序列\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq\mathcal{H}称为\mathcal{H}的一个框架，如果存在常数A,B0，使得对于任意的f\in\mathcal{H}，有

A\|f\|^2\leq\sum_{n=1}^{\infty}|\langlef,\varphi_n\rangle|^2\leqB\|f\|^2

其中，A和B分别称为框架的下界和上界。当A=B时，该框架被称为紧框架。在紧框架中，向量的线性组合能更均匀、高效地对空间元素进行表示，这一特性对于MRI信号处理具有重要意义。

（二）紧框架的性质

冗余性：紧框架通常具有冗余性，即框架向量的数量多于希尔伯特空间的维数。这种冗余性为信号表示提供了额外的自由度，使得在存在噪声或部分数据缺失的情况下，仍能稳定地重建信号。例如，在MRI中，由于采样过程可能受到各种因素干扰，冗余的紧框架表示可以帮助更好地恢复完整的图像信息。

最优稀疏表示：许多自然信号在合适的紧框架下具有稀疏表示特性。对于MRI图像，其包含的解剖结构和组织信息在特定紧框架下可以用少量非零系数来描述。这种稀疏性是基于紧框架的快速MRI方法能够有效压缩数据和加速成像的重要基础。通过寻找能使MRI信号稀疏的紧框架，我们可以在较少的采样数据下准确重建图像。

三、基于紧框架的快速MRI原理

（一）MRI信号模型

MRI信号是通过对人体组织施加射频脉冲和梯度磁场，采集组织中氢原子核的磁共振信号得到的。在k-空间（频率空间）中，MRI信号可以表示为图像的傅里叶变换。假设f(x,y)是待成像的二维图像，其在k-空间中的采样数据F(k_x,k_y)满足：

F(k_x,k_y)=\iintf(x,y)e^{-i2\pi(k_xx+k_yy)}dxdy

传统MRI需要对k-空间进行完整采样以精确重建图像，但这需要较长时间。快速MRI旨在通过减少采样点数，利用信号的先验信息（如紧框架下的稀疏性）来重建高质量图像。

（二）基于紧框架的采样策略

基于紧框架的快速MRI方法通常采用欠采样策略，即在k-空间中只采集部分数据。由于紧框架下MRI信号具有稀疏表示特性，我们可以利用这一特性从欠采样数据中重建完整图像。一种常见的方法是采用随机欠采样模式，在k-空间中随机选择一部分采样点。通过合理设计欠采样率和模式，结合紧框架理论，能够在保证图像重建质量的前提下，显著减少采样时间。例如，使用高斯随机欠采样模式，根据信号在紧框架下的稀疏程度和噪声水平，优化欠采样率，使得在减少采样点数的同时，仍能通过后续的重建算法准确恢复图像。

（三）图像重建算法

稀疏约束重建：在基于紧框架的图像重建中，稀疏约束起着核心作用。利用MRI信号在紧框架下的稀疏表示，将重建问题转化为一个优化问题。目标函数通常包括数据保真项和稀疏正则化项。数据保真项确保重建图像的k-空间数据与实际采样数据匹配，例如使用最小二乘项\|\mathcal{F}f-y\|^2，其中\mathcal{F}是傅里叶变换算子，f是重建图像，y是欠采样的k-空间数据。稀疏正则化项则促使重建图像在紧框架下具有稀疏性，常用的是l_1范数\|\Psif\|_1，其中\Psi是紧框架变换。通过最小化目标函数\min_f\|\mathcal{F}f-y\|^2+\lambda\|\Psif\|_1（\lambda是正则化参数），可以从欠采样数据中重建出高质量的图像。

迭代重建算法：为求解上述优化问题，通常采用迭代算法。如交替方向乘子法（ADMM），它将复杂的优化问题分解为多个子问题，通过交替更新不同变量来逐步逼近最优解。在基于紧框架的MRI重建中，ADMM可以有效处理数据保真项和稀疏正则化