2025 年协作体数学奥林匹克夏令营 O 水平考试 试题及答案解析.docxVIP

2025年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试试题及答案解析

大连大连市第二十四中学

填空题(每小题7分,共140分)

1.设集合A=1,2,22,?,

2.设α=3+1+3-1i(

3.若logaloga+19≤1

4.在四面体PABC中,已知PA=AB=2

5.已知sinx+cosy=1,则

6.将一个骰子投掷4次,投出的数的乘积是完全平方数的概率是_____.

7.在平面直角坐标系xOy中,设A,B分别是x轴正半轴,y轴正半轴上的动点,满足AB=2,设O在直线AB上的投影为P,则

8.圆内接四边形ABCD的对角线交点为P,边BC的中点为E,连接EP交AD于点F,若PAPD=45,

9.方程maxx2-

10.设整数a1,a2,?,a100满足a1

11.方程4x3-3x2=1-x2

12.已知存在x∈3,4,使得ax2+2b

13.在平面直角坐标系xOy上,椭圆Γ:x24+y23=1的焦点为F1,F2,设A是椭圆Γ上的任意一点,直线A

14.数列an满足:a1=1,a

15.在△ABC中,若对BC边上任意一点D,均有AB?AC+DB?DC≥

16.实数a1,a2,?,a100,b

x

的200个根的集合是{±1,±2,?,±100}.b1+b2+?+b

17.椭圆x22025+y289=1的两个焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,设△F1F2P的外心和内心分别为

18.和k=02025k2

19.设D是有限实数集,1∈D,fx是定义在D上的函数,若y=fx的图像Γ绕原点逆时针旋转π3后与自身重合

20.若实数a,b,c,d满足a+

2025年协作体数学奥林匹克夏令营0水平考试参考答案

填空题(每小题7分,共140分)

1.设集合A=1,2,22,?,

答案:6

解:由条件知

B

于是B∩

2.设α=3+1+3-1i(

答案:-

解:因为

cos

α

=

所以

α

3.若logaloga+19≤1

答案:0

解:当a∈0,1时,loga+19

当a∈1,2时,因为a+1a

1

不合题意.

当a∈[2,+∞)时,因为a+1a≥2

1

满足题意.

综上,a的取值范围是0,

4.在四面体PABC中,已知PA=AB=2

答案:26

解:建立空间直角坐标系,设P2,0,0,C-2,

x

解得x,y,z=32,

V

5.已知sinx+cosy=1,则

答案:-

解:因为

sin

由此可得cosx

另一方面,当x,y=π6,π

6.将一个骰子投掷4次,投出的数的乘积是完全平方数的概率是_____.

答案:25

解:分类讨论

(1)a,a,a,a

(2)a,a,a,b型:{a,

(3)a,a,b,b型:

(4)a,a,b,c型

(5)a,b,c,d型:{a,b,c,

P

7.在平面直角坐标系xOy中,设A,B分别是x轴正半轴,y轴正半轴上的动点,满足AB=2,设O在直线AB上的投影为P,则

答案:3

解:设∠OAP=θ

S

=

≤

当cosθ=32时等号成立.故△OAP

8.圆内接四边形ABCD的对角线交点为P,边BC的中点为E,连接EP交AD于点F,若PAPD=45,

答案:16

解:因为

1

所以

sin∠

FA

9.方程maxx2-

答案:2

解:函数fx=maxx2-4x+

注:因为当x=4时,x2-4x+3=32=log

10.设整数a1,a2,?,a100满足a1

答案:550

解:因为

100

即a12-100a1

当a1=550,a2=?=a100

11.方程4x3-3x2=1-x2

答案:6

解:令x=cost,

4

于是原方程为

cos

所以

cos

考虑ft=cos3t,t∈0,π,及gt=sint

12.已知存在x∈3,4,使得ax2+2b

答案:1

解:将等式整理成

x

由柯西不等式

a

令t=x-2,则

x

令u=t+5t,t∈1,2,则u∈92,6,于是x-2x

13.在平面直角坐标系xOy上,椭圆Γ:x24+y23=1的焦点为F1,F2,设A是椭圆Γ上的任意一点,直线A

答案:10

解:设Ax0,

λ

同时,由于点P,