矢量分析和场论基础 .pptVIP

1.5.2标量场的梯度和方向导数标量场u(x,y,z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示，图1-23方向导数和梯度P点到Q点的位移元为(1-65)两边同除以dl，得到标量场u(x,y,z)在P点沿dl方向的方向导数1.梯度的定义及其方向导数根据全微分定义(1-65)第31页，共65页，星期日，2025年，2月5日设位移元dl的方向余弦为{}，即所以方向导数表示为其中——u的梯度——dl的单位矢量第32页，共65页，星期日，2025年，2月5日引入梯度算子由u的梯度表示为可知当al与G平行时，方向导数取得最大值|G|。梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。梯度矢量的的物理意义所以第33页，共65页，星期日，2025年，2月5日梯度在柱坐标系下的表达式梯度在球坐标系下的表达式2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式梯度在直角坐标系下的表达式第34页，共65页，星期日，2025年，2月5日梯度运算的基本公式：第35页，共65页，星期日，2025年，2月5日例1.6求标量函数u(x,y,z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2,3,1)处，沿方向的方向导数。解代入P点的空间坐标(2,3,1)，得方向导数值为第36页，共65页，星期日，2025年，2月5日补充例题：其中，2）求：1）解：第37页，共65页，星期日，2025年，2月5日1.5.3矢量场的通量和散度1.通量的定义图1-24通量定义如图，矢量场A=A(x,y,z)在有向曲面S上的通量定义为面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系。在直角坐标系中第38页，共65页，星期日，2025年，2月5日对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入散度的概念。通量计算存在三种情况1)Φ0，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源2)Φ0，表明闭合曲面内部有吸收矢量线的源，负源3)Φ=0，表明闭合曲面内部可能无源，或正源负源相等第39页，共65页，星期日，2025年，2月5日2.散度的定义散度是单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度，记为divA或，即图1-25散度的定义如果divA0，表明M点有发出矢量线的正源；如果divA0，表明M点有吸收矢量线的负源；如果divA=0，表明M点无源，矢量线在该点连续。第40页，共65页，星期日，2025年，2月5日4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式球坐标系下的表达式3.散度在直角坐标系下的表达式柱坐标系下的表达式第41页，共65页，星期日，2025年，2月5日散度的有关公式：第42页，共65页，星期日，2025年，2月5日5.高斯散度定理如图，矢量场场A(x,y,z)的散度在体积V上的三重积分等于矢量场A(x,y,z)穿过包围V的闭合曲面S的通量，即图1-26高斯定理物理意义V内的通量源总和与穿过S的总通量相等。或第43页，共65页，星期日，2025年，2月5日例1.7设有一矢量场，（1）求该矢量场的散度；（2）取中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）（2）▽·A对中心在原点的单位立方体的积分为第44页，共65页，星期日，2025年，2月5日矢量A对单位立方体表面的积分为可见，散度定理成立。第45页，共65页，星期日，2025年，2月5日补充例题：其中，2）求：1）解：第46页，共65页，星期日，2025年，2月5日电磁场与电磁波理论基础第一章矢量分析与场论基础矢量分析和场论基础第1页，共65页，星期日，2025年，2月5日1.1标量和矢量1.2矢量的运算1.3标量场和矢量场1.4特殊正交曲线坐标系1.5场论1.6拉普拉斯算子1.7电磁场的分类和亥姆霍兹定理第2页，共65页，星期日，2025年，2月5日1.1标量和矢量矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理。标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量，