2026届江苏省常熟中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.docVIP

2026届江苏省常熟中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（）

A.4 B.5

C.6 D.7

2．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）

A. B.

C. D.

3．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为

A.3 B.2

C.4 D.

4．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）

A. B.

C. D.

5．若圆的半径为，则实数（）

A. B.-1

C.1 D.

6．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）

A. B.

C. D.

7．与的等差中项是（）

A. B.

C. D.

8．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）

A.0个 B.1个

C.2个 D.3个

9．过点，的直线的斜率等于2，则的值为（）

A.0 B.1

C.3 D.4

10．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）

A.圆 B.椭圆

C.抛物线 D.直线

11．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）

A.20 B.14

C.12 D.6

12．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.

A.192 B.128

C.3 D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______

14．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.

15．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.

16．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：

（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.

18．（12分）已知椭圆一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.

19．（12分）已知P，Q的坐标分别为，，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是.设点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线的方程；

（2）设为坐标原点，圆的半径为1，直线：与圆相切，且与曲线交于不同的两点A，B.当，且满足时，求面积的取值范围.

20．（12分）已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.

21．（12分）已知直线和的交点为

（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；

（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程

22．（10分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，设数列的前项和为，求.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】根据题干条件得到相似，进而得到，求出点P到准线l的距离.

【详解】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.

故选：C

2、C

【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.

【详解】解：抛物线的焦点，

设直线为，

则，整理得，

则，