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2025年二面角测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

2025年二面角测试题

一、选择题（每题3分，共30分）

1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，则向量AB与z轴的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

2.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，则平面α与平面β的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.在空间中，已知直线l1的方向向量为(1,2,3)，直线l2的方向向量为(2,-1,1)，则直线l1与直线l2的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l与平面α的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，则向量AB与平面z=1的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，则平面α的法向量与平面β的法向量的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.在空间中，已知直线l1的方向向量为(1,2,3)，直线l2的方向向量为(2,-1,1)，则直线l1与直线l2的法向量的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l的法向量与平面α的法向量的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，则向量AB与平面x=1的夹角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，则平面α的法向量与平面β的法向量的二面角为：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、填空题（每题4分，共20分）

1.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，则平面α与平面β的二面角为_________。

2.在空间中，已知直线l1的方向向量为(1,2,3)，直线l2的方向向量为(2,-1,1)，则直线l1与直线l2的二面角为_________。

3.已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l与平面α的二面角为_________。

4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，则向量AB与平面z=1的二面角为_________。

5.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，则平面α的法向量与平面β的法向量的二面角为_________。

三、解答题（每题10分，共50分）

1.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，求平面α与平面β的二面角。

2.在空间中，已知直线l1的方向向量为(1,2,3)，直线l2的方向向量为(2,-1,1)，求直线l1与直线l2的二面角。

3.已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面α的方程为2x+y-z=1，求直线l与平面α的二面角。

4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，求向量AB与平面z=1的二面角。

5.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，求平面α的法向量与平面β的法向量的二面角。

答案

一、选择题

1.C

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.A

10.B

二、填空题

1.45°

2.60°

3.60°

4.30°

5.45°

三、解答题

1.已知平面α和平面β的方程分别为α:2x+y-z=1和β:x-y+2z=2，求平面α与平面β的二面角。

解：

-平面α的法向量为n1=(2,1,-1)

-平面β的法向量为n2=(1,-1,2)

-两法向量的夹角θ由公式cosθ=(n1·n2)/(|n1|·|n2|)计算

计算n1·n2：

n1·n2=2×1+1×(-1)+(-1)×2=2-1-2=-1

计算|n1|和|n2|：

|n1|=√(2^2+1^2+(-1)^2)=√6

|n2|=√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6

计算cosθ：

cosθ=-1/(√6×√6)=-1/6

θ=arccos(-1/6)≈99.6°

二面角为180°-99.6°=80.4°

2.在空间中，已知直线l1的方向向量为(1,2,3)，直线l2的方向向量为(2,-1,1)，求直线l1与直线