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2025年二次型测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

一、填空题（每空4分，共20分）

1.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)对应的矩阵为________。

2.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2+bx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)是正定的，则\(a\)和\(b\)需满足________。

3.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)通过正交变换可化为标准形________。

4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2+bx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)的正惯性指数为2，则\(a\)和\(b\)需满足________。

5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)的负惯性指数为1，则\(a\)和\(b\)需满足________。

答案：

1.\(\begin{pmatrix}123\\221\\313\end{pmatrix}\)

2.\(a0,b0\)

3.\(f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2\)

4.\(a0,b0\)

5.\(a0,b0\)

二、选择题（每题5分，共25分）

1.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)的秩为________。

A.1

B.2

C.3

D.4

2.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2+bx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)是正定的，则\(a\)和\(b\)需满足________。

A.\(a0,b0\)

B.\(a0,b0\)

C.\(a0,b0\)

D.\(a0,b0\)

3.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)通过正交变换可化为标准形________。

A.\(f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2\)

B.\(f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2+3y_3^2\)

C.\(f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2+4y_3^2\)

D.\(f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+3y_2^2+2y_3^2\)

4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2+bx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)的正惯性指数为2，则\(a\)和\(b\)需满足________。

A.\(a0,b0\)

B.\(a0,b0\)

C.\(a0,b0\)

D.\(a0,b0\)

5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2+bx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)的负惯性指数为1，则\(a\)和\(b\)需满足________。

A.\(a0,b0\)

B.\(a0,b0\)

C.\(a0,b0\)

D.\(a0,b0\)

答案：

1.C

2.A

3.A

4.A

5.B

三、计算题（每题10分，共30分）

1.将二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3\)化为标准形，并求出对应的正交变换矩阵。

解：

首先，写出二次型对应的矩阵\(A\)：

\[A=\begin{pmatrix}123\\221\\313\end{pmatrix}\]

接下来，求矩阵\(A\)的特征值和特征向量。特征多项式为：

\[\det(A-\lambdaI)=\begin{vmatrix}1-\lambda23\\22-\lambda1\\313-\lambda\end{vmatrix}\]

计算特征多项式：

\[\det(A-\lambdaI)=(1-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda1\\13-\lambda\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}21\\33-\lambda\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}22-\lambda\\31\end{vmatrix}\]

\[=(1-\lambda