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高等数学重点知识点总结

高等数学作为大学理工科、经济管理等诸多专业的重要基础课程，涵盖了丰富的知识点，下面将对其重点知识点进行详细总结。

函数、极限与连续

1.函数

函数是高等数学研究的基本对象，设数集\(D\subsetR\)，则称映射\(f:D\toR\)为定义在\(D\)上的函数，通常简记为\(y=f(x),x\inD\)，其中\(x\)为自变量，\(y\)为因变量，\(D\)为定义域。函数具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等重要性质。

-单调性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，区间\(I\subsetD\)。如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_1\)及\(x_2\)，当\(x_1x_2\)时，恒有\(f(x_1)f(x_2)\)，则称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是单调增加的；如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_1\)及\(x_2\)，当\(x_1x_2\)时，恒有\(f(x_1)f(x_2)\)，则称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是单调减少的。

-奇偶性：设函数\(f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称。如果对于任一\(x\inD\)，有\(f(-x)=f(x)\)，则称\(f(x)\)为偶函数；如果对于任一\(x\inD\)，有\(f(-x)=-f(x)\)，则称\(f(x)\)为奇函数。

-周期性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)。如果存在一个正数\(T\)，使得对于任一\(x\inD\)有\((x\pmT)\inD\)，且\(f(x+T)=f(x)\)，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)称为\(f(x)\)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

-有界性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，数集\(X\subsetD\)。如果存在数\(K_1\)，使得\(f(x)\leqK_1\)对任一\(x\inX\)都成立，则称函数\(f(x)\)在\(X\)上有上界，而\(K_1\)称为函数\(f(x)\)在\(X\)上的一个上界；如果存在数\(K_2\)，使得\(f(x)\geqK_2\)对任一\(x\inX\)都成立，则称函数\(f(x)\)在\(X\)上有下界，而\(K_2\)称为函数\(f(x)\)在\(X\)上的一个下界；如果存在正数\(M\)，使得\(|f(x)|\leqM\)对任一\(x\inX\)都成立，则称函数\(f(x)\)在\(X\)上有界；如果这样的\(M\)不存在，就称函数\(f(x)\)在\(X\)上无界。

2.极限

极限是高等数学的核心概念之一，分为数列极限和函数极限。

-数列极限：设\(\{x_n\}\)为一数列，如果存在常数\(a\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(nN\)时，不等式\(|x_n-a|\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{x_n\}\)的极限，或者称数列\(\{x_n\}\)收敛于\(a\)，记为\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)或\(x_n\toa(n\to\infty)\)。如果不存在这样的常数\(a\)，就说数列\(\{x_n\}\)没有极限，或者说数列\(\{x_n\}\)是发散的。

-函数极限：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x\)满足不等式\(0|x-x_0|\delta\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(|f(x)-A|\varepsilon\)，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\tox_0\)时的极限，记为\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)或\(f(x)\toA(x\tox_0)\)。

-单侧极限：左极限\(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A\)表示\(x\)从\(x_0\)的左侧趋近于\(x_