第66届国际数学奥林匹克竞赛 (IMO)试题及解析）.docxVIP

第66届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)试题及解析）

2025年第66届IMO第一天解答

(2025年7月15日澳大利亚)

1、在平面直角坐标系中与x,y轴以及x+y=0都不平行的直线称为好直线。给定正整数n≥3,求所有非负整数k,使得平面上有n条不同的直线满足以下条件:对于任意满足a+b≤n+1的正整数,点

解:记第一象限所有满足a+b≤n+1的格点(a,b)构成集合P,P的凸包为三条直线x=1,y=1以及x+y=n+1

结论:对于任意n≥3

?n=3时,P=6,每条好直线最多过P的两个点,并且只有三条这样的直线,

①取S是L的n条直线,得到k=0

②取S为直线y=x,x+y

③取S为直线y=x,2x+y

因此,k∈{0

?以下设n3,(*)对于n-1成立。P的凸包上有3n-3个P中的格点,L之外的每条直线最多过P的边界上的两个格点,由于3n-32n,因此S中至少有一条L的直线。去掉这条直线以及直线上P的格点

综上所述,k∈{0

2、M,N分别是圆c1,c2的圆心,c1,c2交于A,B,直线MN与c1,c2交于C,D,使得C,M,N,D在直线上依次排列。P是△ACD的外心,AP与c1,c2交于E,F。H

证明:设ME,NF交于W,不妨设∠ACD=α∠ADC=β,由已知∠BAE

由于PN⊥AD,因此MH∥AD,所以∠HMN=β,由于∠WMN=2∠ECD=2β,故HM平分∠WMN,同理可得∠

由于∠ABF=180°-∠ADF=180°-α-β,∠ABE=∠ACE=α+

由于∠WEF=∠MEA=90°-α-β,所以∠WFE=90°-α-β,因此WE=WF

综上所述,结论成立。

3、N表示全体正整数,如果一个函数f:N→N满足:对于任意正整数a,b都有faba-fbfa,则称f是好函数。求最小的实数c,使得对于任意好函数

解:取函数f如下:对于奇数x,fx=1;对于偶数y≠4,fy=2;

以下设存在好函数,使得有正整数m,满足fm

原式中取b=a可知对于任意正整数a都有f

取a=p是一个素数,可知fp是p的幂；取a=1

若存在素数p满足fp1,则p∣fp。对于任意正整数b都有fp?bp-fbfp,因此p?bp-fbfp,由

任取素数pfm-m,取b=p和正整数a

对于任意奇数a,由于fa∣aa,所以fa是奇数。若存在素数q∣fa,由于a?0?mod?q-1,因此存在c,q=1使得ca?1?mod?q,由Dirichlet定理,存在素数

因此②对于任意奇素数p都成立,所以对于任意正整数a,fa都是2

由②可得fm∣3m-1。由升幂定理v23m-1=v2m+2,因此v

综上所述,c=4

2025年第66届IMO第二天解答

(2025年7月16日8:00-12:30,澳大利亚)

4、对于任意正整数N,我们称N的小于N的正整数因子为N的真因子。正整数数列ann=1+∞的每一项至少有3个真因子,并且对于任意正整数n,an+1等于an最大的

引理1:a1

引理1证明:若an是奇数,则an的真因子都是奇数,因此an+1也是奇数。由于an的最小素因子≥3,3275,所以

因此当a1是奇数时,数列的每一项都是奇数,并且严格递减,因此会出现负数,矛盾。所以,a1

由于an作为a1可以产生满足要求的数列,所以每个a

引理2:a1是3

引理2证明:若an,3=1,则an的最大的3个真因子分别≤12an,≤14an,≤15

取n是使得3∣an+1的最小的正整数,设an的三个最小的大于1的因子为xyz,则x=2,并且an12+1y+1z≡0?mod?3,因此yz+2y+2z≡0?mod?3,由于yz,3=1,所以y≡z≡2?mod?3,

因此a1是3

由于an作为a1可以产生满足要求的数列,所以每个an

由引理1、2可知,可设an=6bn,an

若bn,10=1,则an

若bn是5的奇数倍,则an第三大的真因子为65b

若bn是偶数,设an=12cn,则an第三大的真因子为6bn,

综