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2025年不等式的测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

2025年不等式的测试题

一、选择题（每题3分，共15分）

1.若实数\(a,b\)满足\(a^2+b^2=1\)，则\(a+b\)的最大值是：

A.1

B.\(\sqrt{2}\)

C.\(\sqrt{3}\)

D.2

2.不等式\(\frac{x-1}{x+1}0\)的解集是：

A.\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\)

B.\((-1,1)\)

C.\((-\infty,-1)\cup(-1,1)\)

D.\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\cup(-1,1)\)

3.若\(a0,b0\)，则下列不等式一定成立的是：

A.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\)

B.\(\sqrt{ab}\geq\frac{a+b}{2}\)

C.\(a^2+b^2\geq2ab\)

D.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)

4.不等式\(|x-1|+|x+1|2\)的解集是：

A.\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\)

B.\((-1,1)\)

C.\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\cup(-1,1)\)

D.空集

5.设\(f(x)=x^2-2ax+3\)，若对任意\(x\in\mathbb{R}\)，都有\(f(x)\geq0\)，则\(a\)的取值范围是：

A.\((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\)

B.\([-2,2]\)

C.\((-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)\)

D.\([-\sqrt{3},\sqrt{3}]\)

二、填空题（每题4分，共20分）

1.不等式\(3x^2-12x+9\leq0\)的解集是：________。

2.若\(a,b\)为正数，且\(a+b=1\)，则\(ab\)的最大值是：________。

3.不等式\(|x-1|^2+|x-2|^2\geq5\)的解集是：________。

4.若\(a1\)，则\(\frac{1}{a-1}1\)的解集是：________。

5.设\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}\)，则\(f(x)\)的值域是：________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.解不等式\(\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\geq0\)。

2.设\(a,b,c\)为正数，且\(a+b+c=1\)，证明\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9\)。

3.解不等式\(|2x-1||x+3|\)。

答案及解析

一、选择题

1.答案：B

解析：由\(a^2+b^2=1\)，利用均值不等式\((a+b)^2\leq2(a^2+b^2)\)，得\((a+b)^2\leq2\)，即\(a+b\leq\sqrt{2}\)。当\(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)时，等号成立，所以\(a+b\)的最大值是\(\sqrt{2}\)。

2.答案：A

解析：不等式\(\frac{x-1}{x+1}0\)等价于\((x-1)(x+1)0\)，解得\(x1\)或\(x-1\)，即解集为\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\)。

3.答案：C

解析：对于\(a0,b0\)，由均值不等式\(a^2+b^2\geq2ab\)成立。其他选项不恒成立，例如\(\sqrt{ab}\geq\frac{a+b}{2}\)是均值不等式的一种形式，但不是一定成立。

4.答案：A

解析：当\(x\geq1\)时，\(|x-1|+|x+1|=2x2\)；当\(-1\leqx1\)时，\(|x-1|+|x+1|=2\)，不满足不等式；当\(x-1\)时，\(|x-1|+|x+1|=-2x2\)，解得\(x-1\)。综上，解集为\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\)。

5.答案：D

解析：\(f(x)=x^2-2ax+3\)是一个二次函数，若对任意\(x\in\mathbb{R}\)，都有\(f(x)\geq0\)，则其判别式\(\Delta\leq0\)，即\(4a^2-12\leq0\)，解得\(-\sqrt{3}\leqa\leq\sqrt{3}\)。

二、填空题

1.答案：\[[1,3]\]

解析：\(3x^2-12x+9=3(x-2)^2\leq0\)，解得\(x=2\)，所以解集为\([1,3]\)。

2.答案：\(\frac{1}{4}\)

解析：由均