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2025年不等式专题测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

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2025年不等式专题测试题

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若\(ab\)，则下列不等式一定成立的是：

A.\(a^2b^2\)

B.\(\frac{1}{a}\frac{1}{b}\)

C.\(a-b0\)

D.\(\sqrt{a}\sqrt{b}\)

2.已知\(a0\)，\(b0\)，且\(ab=1\)，则\(a+b\)的最小值为：

A.1

B.2

C.\(\sqrt{2}\)

D.4

3.不等式\(\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}0\)的解集为：

A.\((1,2)\)

B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)

C.\((1,+\infty)\)

D.\((-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)\)

4.若\(a+b=1\)，则\(a^2+b^2\)的最小值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.1

C.2

D.\(\frac{3}{2}\)

5.不等式\(2^{x+1}-40\)的解集为：

A.\((1,+\infty)\)

B.\((2,+\infty)\)

C.\((0,+\infty)\)

D.\((-\infty,-1)\)

二、填空题（每题6分，共30分）

1.不等式\(x^2-4x+30\)的解集为________。

2.若\(a1\)，\(b1\)，且\(\log_ab+\log_ba=4\)，则\(a+b\)的值为________。

3.不等式\(\sqrt{x+1}x\)的解集为________。

4.若\(x0\)，\(y0\)，且\(x+y=4\)，则\(xy\)的最大值为________。

5.不等式\(|x-1|+|x+2|3\)的解集为________。

三、解答题（每题15分，共45分）

1.解不等式\(\frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}\leq0\)。

2.已知\(a0\)，\(b0\)，且\(a+b=3\)，求\(ab\)的最大值，并证明你的结论。

3.解不等式\(|2x-1|x+1\)。

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参考答案及解析

一、选择题

1.C

解析：由\(ab\)，直接得到\(a-b0\)。

A选项：若\(a=1\)，\(b=-1\)，则\(a^2=1\)，\(b^2=1\)，不成立。

B选项：若\(a=2\)，\(b=1\)，则\(\frac{1}{a}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{b}=1\)，不成立。

D选项：若\(a=4\)，\(b=1\)，则\(\sqrt{a}=2\)，\(\sqrt{b}=1\)，成立，但不是所有情况。

2.B

解析：由均值不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}=2\)，当且仅当\(a=b=1\)时取等号。

3.D

解析：将不等式分解为\(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}0\)，即\(\frac{(x-2)}{(x+1)}0\)，解得\((-\infty,-1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)\)。

4.A

解析：由平方和公式\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab\)，且\(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)，所以\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)时取等号。

5.A

解析：不等式化为\(2^{x+1}4\)，即\(2^{x+1}2^2\)，解得\(x+12\)，即\(x1\)。

二、填空题

1.\((1,3)\)

解析：解方程\(x^2-4x+3=0\)，得\(x=1\)或\(x=3\)，不等式解集为\((1,3)\)。

2.4

解析：由\(\log_ab+\log_ba=4\)，设\(\log_ab=t\)，则\(\log_ba=\frac{1}{t}\)，得\(t+\frac{1}{t}=4\)，解得\(t=2\)，即\(\log_ab=2\)，所以\(b=a^2\)，代入\(a+b=1\)，得\(a+a^2=1\)，解得\(a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)，\(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)，\(a+b=4\)。

3.\([2,+\infty)\)

解析：两边平方得\(x+1x^2\)，即\(x^2-x-10\)，解得\(x\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)或\(x\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，结合\(x\geq-1\)，解集为\([2,+\infty)\)