专题几何体与球切接问题讲-2017高考数学文二轮复习原卷版.pdfVIP

热点七几何体与球切、接的问题

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综

合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，

这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析，除了这类题目的入手确实不

易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年

高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考题思路,力争在

这部分内容不失分.从近几年高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这

个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是

这个多面体的内切球.

1球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，

通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1球与正方体

如图所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.

常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；

二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体

的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正

方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图

的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

（1）正方体的内切球，如图1.位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=a.

（2）正方体的外接球，如图2.位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为

a，球的半径为r，这时有2r=