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2025年不等式达标测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

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2025年不等式达标测试题

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若\(ab\)，则下列不等式一定成立的是：

A.\(a^2b^2\)

B.\(\frac{1}{a}\frac{1}{b}\)

C.\(a-cb-c\)

D.\(\sqrt{a}\sqrt{b}\)

2.不等式\(\frac{x+1}{x-2}0\)的解集为：

A.\(x2\)

B.\(x-1\)

C.\(-1x2\)

D.\(x-1\)或\(x2\)

3.若\(a,b\in\mathbb{R}\)，且\(a+b=1\)，则\(a^2+b^2\)的最小值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(1\)

C.\(2\)

D.\(\frac{1}{4}\)

4.不等式\(2x^2-3x-20\)的解集为：

A.\(x-\frac{1}{2}\)或\(x2\)

B.\(-1x2\)

C.\(x=-\frac{1}{2}\)或\(x=2\)

D.\(-\frac{1}{2}x2\)

5.若\(a0\)，\(b0\)，且\(a^2+b^2=1\)，则\(ab\)的最大值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(1\)

C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

D.\(\frac{1}{4}\)

二、填空题（每题6分，共30分）

1.不等式\(|x-1|2\)的解集为__________。

2.若\(a1\)，则\(a^3-a\)的值__________0。

3.不等式\(\sqrt{x+1}\leqx\)的解集为__________。

4.若\(x\in\mathbb{R}\)，则\(x^2+4x+4\geq0\)恒成立，因为__________。

5.若\(a,b\in\mathbb{R}\)，且\(a+b=2\)，则\(a^2+b^2\geq1\)，因为__________。

三、解答题（共45分）

1.解不等式\(\frac{x^2-4}{x+1}\leq0\)。（10分）

2.已知\(a0\)，\(b0\)，且\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值，并证明。（12分）

3.解不等式\(x^2-4x+30\)，并在数轴上表示解集。（10分）

4.若\(x\in\mathbb{R}\)，证明\(x^2+1\geq2x\)恒成立。（13分）

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参考答案及解析

一、选择题

1.答案：C

解析：

A.\(ab\)不一定成立\(a^2b^2\)，例如\(a=1\)，\(b=-2\)，则\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，不成立。

B.\(\frac{1}{a}\frac{1}{b}\)不一定成立，例如\(a=1\)，\(b=-2\)，则\(\frac{1}{a}=1\)，\(\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}\)，不成立。

C.\(a-cb-c\)成立，因为\(ab\)两边同时减去\(c\)仍成立。

D.\(\sqrt{a}\sqrt{b}\)不一定成立，例如\(a=1\)，\(b=-2\)，\(\sqrt{a}=1\)，\(\sqrt{b}\)无意义。

2.答案：D

解析：

\(\frac{x+1}{x-2}0\)等价于\((x+1)(x-2)0\)，解得\(x-1\)或\(x2\)。

3.答案：A

解析：

\(a+b=1\)，则\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab\)。要使\(a^2+b^2\)最小，需\(ab\)最大。由AM-GM不等式，\(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)，所以\(a^2+b^2\geq1-2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。

4.答案：A

解析：

\(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\)，解得\(x-\frac{1}{2}\)或\(x2\)。

5.答案：A

解析：

\(a^2+b^2=1\)，则\(ab\leq\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}\)，由AM-GM不等式，当\(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)时取等。

二、填空题

1.答案：\(-1x3\)

解析：

\(|x-1|2\)等价于\(-2x-12\)，解得\(-1x3\)。

2.答案：大于

解析：

\(a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)\)，当\(a1\)时，\(a0\)，\(a-10\)，\(a+10\)，所以\(a^3-a0\)。

3.答案：\([1,+\infty)\)

解析：

\(\sqrt{x+1}\leqx\)两边平