(人教A版数学必修二)2025秋季学期讲义第18讲7.1.1数系的扩充和复数的概念(学生版+解析).docxVIP

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第01讲7.1.1数系的扩充和复数的概念

课程标准

学习目标

①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。

②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。

③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。

1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；

2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念；

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；

知识点01：实数系

（1）实数系的分类

(2)实数的性质

①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；

②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；

③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.

知识点02：复数的概念

（1）复数的引入

为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.

所以实数系经过扩充后得到的新数集是.

（2）复数的概念

我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.

（3）复数相等

在复数集中任取两个数，，（），我们规定.

【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？

（2）若，且，则实数的值分别为多少？

【答案】（1）；（2）或

【详解】（1）由已知得，

解得；

（2）由已知得，

解得或.

知识点03：复数的分类

对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:

【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数是：

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

【答案】(1)(2)(3)

【详解】（1）当，即时，复数z是实数．

（2）当，即时，复数z是虚数．

（3）当且，即时，复数z是纯虚数．

题型01虚数单位及其性质

【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）.

【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）．

【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知为虚数单位，则（????）

A． B． C．1 D．

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算：

(1)；

(2)．

题型02复数的基本概念

【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．

【典例2】（2021·高一课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（???）

A．0 B．－1

C． D．

【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（????）

A．如果实数，那么是纯虚数．

B．实数是复数．

C．如果，那么是纯虚数．

D．任何数的偶数次幂都不小于零．

【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（????）

A．存在x使得小于0 B．存在x使得

C．不是实数 D．实部和虚部均为1

题型03求复数的实部与虚部

【典例1】（2024上·广东·高二学业考试）若复数，则复数的虚部为（????）

A．5 B．-5 C．5 D．-5

【典例2】（多选）（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）的实部

【典例3】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

【变式1】（2022下·天津和平·高一校联考期末）若是纯虚数，则实数的值等于（????）

A．0或2 B．2或 C． D．2

【变式2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：.

【变式3】（2021下·河南新乡·高二辉县市第一高级中学校考阶段练习）在复平面内，复数(其中)．

（1）若复数为实数，求的值；

（2）若复数为纯虚数，求的值.

题型06复数中的比较大小

【典例1】2．（2022下·高一课时练习）已知，且，则.

【典例2】（2022·高一课时练习）设，，且，若，则．

【变式1】（2022下·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知，．若，则的值为（????）

A．2 B．3 C．2或3 D．不存在

【变式2】（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知，，且，则实数