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湖南省三湘名校教育联盟2026届高二上数学期末调研试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B.

C. D.

2．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）

A. B.

C. D.

3．函数在上的极大值点为（）

A. B.

C. D.

4．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（）

A. B.

C. D.

5．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）

A.， B.

C.， D.

6．直线关于直线对称的直线方程为（）

A. B.

C. D.

7．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（）

A. B.4

C. D.

8．设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）

A.5 B.

C. D.9

9．方程化简的结果是（）

A. B.

C. D.

10．若向量，，，则（）

A. B.

C. D.

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（）

A.3 B.4

C.6 D.11

12．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）

A. B.

C.2 D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，向量，，，且，，则___________.

14．方程()所表示的直线恒过定点________

15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________

16．设抛物线的准线方程为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值

18．（12分）已知点F是抛物线和椭圆的公共焦点，是与的交点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与抛物线相切于点，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为.求的最大值及相应的.

19．（12分）已知等差数列的前项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）求的值.

20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，椭圆上的点到左焦点最近的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若经过点的直线与椭圆C交于M，N两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.

21．（12分）已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围

22．（10分）已知数列的前n项和，满足，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）令，求数列的前n项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出

【详解】如图所示：

设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，

，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，

故选：A.

2、A

【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.

【详解】设，则，

∴R上单调递增.

又，则.

∵等价于，即，

∴，即所求不等式的解集为.

故选：A.

3、C

【解析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点

【详解】，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴函数在的极大值点为

故选：C

4、D

【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.

【详解】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，

则，

解得，则爆炸点与观测点的距离为，

故选：D.

5、D

【解析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列