概率密度和分布函数.pptVIP

[例]1910年Rutherford和Geiger在镤放射源前的小屏幕上记录粒子每分钟撞击次数x的频数列于下表。每分钟撞击次数观测到的频数撞击次数按泊桑分布计算的频数057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666总计2608100922608第30页，共72页，星期日，2025年，2月5日[例]1910年Rutherford和Geiger在镤放射源前的小屏幕上记录粒子每分钟撞击次数x的频数列于下表。解：考虑到不太长的时期内，粒子放出的平均次数为常数，每个粒子的放出可认为独立，且放出次数只与时间有关，故可假设符合泊桑分布。首先计算粒子放出的平均次数：则泊桑分布模型：计算不同值时的频数列于表，可见与实际观测值非常接近。第31页，共72页，星期日，2025年，2月5日泊桑分布泊桑分布的数字特征：第32页，共72页，星期日，2025年，2月5日泊桑分布与二项分布之间的关系由二项分布的数字特征得：由二项分布模型得：第33页，共72页，星期日，2025年，2月5日泊桑分布与二项分布之间的关系当时，上式有又因为：所以得：但是只有当时，才为有限值，所以应写为：第34页，共72页，星期日，2025年，2月5日几种离散分布模型之间的关系第35页，共72页，星期日，2025年，2月5日随机变量及其分布：

连续型随机变量的概率分布当随机变量可以在数轴的一个连续区段内取任意值，则需要用连续型概率分布模型。重点：介绍连续型随机变量若干重要的分布模型。 连续均匀分布 指数分布 Gamma分布 Beta分布 Weibull分布 Chi平方分布第36页，共72页，星期日，2025年，2月5日连续均匀分布(矩形分布)特点：在一定范围内（从上限a到下限b），事件出现的概率密度q为常数，而在该范围之外为0。概率密度的数学模型：第37页，共72页，星期日，2025年，2月5日连续均匀分布(矩形分布)对x积分后得到分布函数Q：第38页，共72页，星期日，2025年，2月5日连续均匀分布(矩形分布)矩形分布的数字特征：第39页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布适用于描述出现某事件所需等待时间的概率分布。（例如设备从开始运行到出现故障的延续时间。）数学形式可在以下假设条件下引出：（1）在任一时间段内，事件发生的概率仅与时间段的长度有关，而与时间的起点或终点无关。（2）在一小段时间内，事件发生的概率近似地正比于时间段长，即。（3）在不相重叠的各时间段内，事件的发生是独立的。第40页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布将不发生事件的时间段（0，x）分成n等份：各时间段内事件系独立发生，又令p为不发生事件的概率：t为发生事件的时刻根据条件（1）和（2）：为发生事件的概率第41页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布因此，在时发生事件的概率为：这是分布函数，相应的密度函数为分布函数的导数：其中为寿命参数。（这是和离散型的几何分布相对应的一种连续分布模型。它在设备和元件的寿命问题中有广泛的应用，实际上是可靠性研究领域中的一种标准分布。）第42页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布当时，指数分布的密度函数当时，指数分布的分布函数第43页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布指数分布的数字特征为：第44页，共72页，星期日，2025年，2月5日指数分布[例]某设备采用一元件，它的故障时间T遵循指数分布，并已测得参数为。现将该种元件分别用于5台设备中，试问：8年以后，至少还有2个该种元件仍在工作着的概率为多少？解：根据指数分布，8年后该元件仍在工作着的概率为：令x表示8年后仍在工作着的元件数，由于这