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最短路径问题姓名

类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：

一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。

例1、如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．

作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求。

说明：∵连接A、B两点的线中，线段最短。

∴连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小=AB

一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。

例2、如图，在直线上求一点P，使PA+PB值最小．

作法：①作点A关于直线的对称点A’；

②连接A’B，交直线l于点P，点P即为所求。

说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，

∴直线是AA’的垂直平分线，∴PA=PA’，∵两点之间，线段最短。

∴此时PA+PB最小=PA’+PB=AB。

类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：

一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

例3、在直线上求一点P，使的值最大．

作法：连接AB，并延长交直线于点P，点P即为所求。

证明：在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，

∴；而连接AB，并延长交直线于点P，此时，

一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，

然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。

例4、如图，在直线上求一点P，使的值最大．

作法：①作点B关于直线的对称点B’，②连接AB’，并延长交直线于点P，点P即为所求。

说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线∴PA=PA’，

若在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，

∴∴此时

总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”。

类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。

例5、如图，在直线上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．

方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去

（即直线的另一侧），再根据“两点之间，线段最短”，

连接点P的两个对称点，与直线的交点即为所求。

作法：①分别作点P关于直线的对称点;

说明：连接MP、NP，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，

∵点P和点P2关于直线对称，∴直线是PP2的垂直平分线，∴NP=NP2，

∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2

类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。

例1、在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN周长最小.

方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去

（即直线的另一侧），一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”，

连接点P、Q的对称点，与直线的交点即为所求。

作法：①作点Q关于直线的对称点;②作点P关于直线的对称点；

说明：连接MP、NQ，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，

∵点Q和点Q1关于直线对称，∴直线是QQ1的垂直平分线，∴NQ=NQ1，

∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1

例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地放羊，然后赶到小河饮水，之后再回到B处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。

类型五、架桥修路距离最短的问题

两条平行线之间的距离为d，直线外有异侧两定点A、B，在上分别有两个动点M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。

作法：

①从点A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：将点A向下平移d个单位长度至点A’）

②连接A’B，交直线n于点N，

③作NM⊥m于M，M、N即为所求。

说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，四边形AA’NM是平行四边形，

AM=A’N，，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。