四维Lotka-Volterra竞争模型的异宿环以及Hopf分岔分析.pdfVIP

第44卷第3期杭州电子科技大学学报（自然科学版)Vol.44No.3

2024年5月JournalofHangzhouDianziUniversity(NaturalSciences)May2024

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2024.03.010

四维Lotka-Volterra竞争模型的异宿环以及Hopf分岔分析

贾安凡，孙伟刚

（杭州电子科技大学理学院，浙江杭州310018)

摘要：Lotka-Volterra竞争模型的瞬态动力学与异宿环结构密切相关，同时对理解物种之间相互竞

争的无赢家竞争现象起着重要的作用。为了研究Lotka-Volterra竞争模型的异宿环拓扑结构，通

过设计Matlab程序确定了四维模型的系统参数；在此参数下发现系统的异宿环由四个鞍点构成，

并且在异宿环外部存在一个极限环；利用Routh-Hurwitz判据和Poincare规范形理论对极限环的

稳定性进行了理论分析。

关键词：异宿环；极限环；Hopf分岔；Poincare规范形

中图分类号：0175.14文献标志码：A

0引言

Lotka-Volterra系统最初由美国人Lotka

数学家Volterra

一系统被合称为Lotka-Volterra系统。Lotka-Volterra系统作为某些重复的认知过程的候选模型，在

生态学和其他复杂系统中的其他有限资源动力学建模中，已经得到了广泛的研究。Rabinovich、

Afraimovich等人在文献[4]中提出了一个强耗散动力系统来描述一个基于功能依赖的亚稳态认知状

态相互作用的瞬态认知动力学的理论，这种瞬态活动的数学图像是一个稳定的异宿环，该异宿环由鞍点

构成，异宿环的轨迹同时连接着周围的不稳定平衡点。基于功能依赖的亚稳态认知状态相互作用的瞬

态认知动力学的理论，Rabinovich等[5]用异宿环动力学描述了认知现象的丰富性，决策、注意力、工作记

忆及其整合的结果，即意识和创造力过程对大脑的意识与创造力过程，Rabinovich和Varonal6]研究了

大脑创造性思维的多模态过程与异宿环结构的相互作用。为了理解文献[4中所提出的瞬态认知动

力学，本文利用Matlab设计程序确定了四维Lotka-Volterra系统的参数，并找到了此系统的异宿环拓

扑结构以及异宿环外部的一个稳定极限环，该极限环由不稳定平衡点发生Hopf分岔产生。

1平衡点的稳定性以及异宿环结构

四维Lotka-Volterra的状态方程表示为

[=biaa122a3a4

2=b2±2—a222-8a2121—a232ga2424

(1)

s=b33-a33a8a3131-a32g2-a34g24

收稿日期：2023-10-13

基金项目：国家自然科学基金资助项目

作者简介：贾安凡（1999一），男，研究方向：动力系统。E-mail：afjia@hdu.edu.cn。通信作者：孙伟刚，教授，研究方向：复

杂网络动力学。E-mail:wgsun@hdu.edu.cn。

第3期贾安凡，等：四维Lotka-Volterra竞争模型的异宿环以及Hopf分岔分析73

其中，α;表示第i个物种的数量，b；表示物种的增长率，a;表示物种争夺物种i使用资源的程度，为

分岔参数。本文要求b,0,a≥0，这些条件还保证了所有非负初始条件保持有界并且渐近地接近区域

0,≤1。系统（1)可以解出24=16个平衡点，并且在任意平衡点E（α，α²，，α）处线性化后的

雅可比矩阵为

k1-a12α-a13.a-a14ai