数值分析第六章解线性方程组的迭代法.pptVIP

*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式超松弛迭代法的基本思想超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯—塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值适当加权平均，期望获得更好的近似值。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。第30页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式SOR方法⑴用高斯—塞德尔迭代法定义辅助量。⑵把取为与的加权平均，即合并表示为：第31页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式SOR方法式中系数ω称为松弛因子，为了保证迭代过程收敛，要求0ω2。当ω=1时，便为高斯-塞德尔迭代法。当0ω1时，低松弛法；当1ω2时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR)。第32页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式故令则超松弛迭代公式可写成SOR迭代法的矩阵表示第33页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设)于是超松弛迭代公式为(k=0,1,2,…)第34页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis例6.2.3它的精确解为取，迭代公式为用SOR方法解方程组解第35页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式取，取其他值，迭代次数如下表.第11次迭代结果为第36页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis从此例看到，松弛因子选择得好，会使SOR迭代法的收敛大大加速.本例中是最佳松弛因子.第37页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis定义设有矩阵序列及,如果个数列极限存在且有则称收敛于，记为第38页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis例且设，考查其极限.解由于，当时，有设有矩阵序列所以第39页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis定理设,则(零矩阵)的充分必要条件是矩阵的谱半径（证明参见：关治，陈景良.数值计算方法,清华大学出版社，P410~412）第40页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis矩阵的谱半径第41页，共70页，星期日，2025年，2月5日*/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis定理对给定方阵G,若,则为非奇异矩阵,且证:用反证法,若为奇异矩阵,则存在非零向量x,使,即有由相容性条件得由于