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近世代数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设G是群，a,b∈G，则(ab)?1=（）

A.a?1b?1B.b?1a?1C.abD.a?1b

答案：B

2.在整数加群(Z,+)中，元素3的阶是（）

A.1B.2C.3D.无穷大

答案：D

3.设R是环，a,b∈R，则a(b+c)=（）

A.ab+cB.ab+acC.a+bcD.b+ac

答案：B

4.设F是域，下列关于多项式环F[x]的说法错误的是（）

A.F[x]是整环B.F[x]的单位元是1C.任意两个非零多项式之积为零多项式D.次数公式deg(fg)=deg(f)+deg(g)（f,g≠0）

答案：C

5.设H是群G的子群，a∈G，则aH=H的充要条件是（）

A.a∈HB.a?1∈HC.a2∈HD.a3∈H

答案：A

6.下列集合关于数的乘法构成群的是（）

A.{-1,0,1}B.{1,-1}C.{0,1}D.{-1,1,2}

答案：B

7.在模6剩余类环Z?中，[2][3]=（）

A.[0]B.[1]C.[2]D.[3]

答案：A

8.设φ:G→G是群同态映射，e是G的单位元，则φ(e)是（）

A.G的单位元B.G的单位元C.任意元素D.零元素

答案：A

9.设R是交换环，a∈R是幂零元，即存在正整数n使得a?=0，则1-a是（）

A.零元B.幂零元C.单位元D.不可逆元

答案：C

10.设G是有限群，|G|=n，则对于任意a∈G，a?=（）

A.aB.eC.a2D.不确定

答案：B

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些是群的性质（）

A.结合律B.存在单位元C.每个元素都有逆元D.交换律E.封闭性

答案：ABCE

2.设R是环，则R满足（）

A.关于加法构成交换群B.关于乘法构成交换群C.乘法对加法满足分配律D.加法对乘法满足分配律E.存在乘法单位元

答案：AC

3.设G是群，H,K是G的子群，则下列说法正确的是（）

A.H∩K是G的子群B.H∪K是G的子群C.HK=KH，则HK是G的子群D.若|H|=|K|，则H=KE.若H是正规子群，K是正规子群，则H∩K是正规子群

答案：ACE

4.在整数环Z中，下列说法正确的是（）

A.2和3是互素的B.4和6的最大公因数是2C.任意两个非零整数都有最大公因数D.整数环是主理想整环E.整数环是唯一分解整环

答案：ABCDE

5.设φ:R→S是环同态映射，则（）

A.φ(0)=0B.φ(a+b)=φ(a)+φ(b)C.φ(ab)=φ(a)φ(b)D.若R是整环，则S是整环E.若a是R的单位元，则φ(a)是S的单位元

答案：ABCE

6.设G是循环群，生成元为a，则（）

A.G的元素都可以写成a?的形式（n∈Z）B.若|G|=n，则a?=eC.循环群是交换群D.若G是无限循环群，则G与(Z,+)同构E.若|G|=m，则G有m个生成元

答案：ABCD

7.设R是环，a∈R，下列关于理想的说法正确的是（）

A.(a)={ra|r∈R}是R的主理想B.若I,J是R的理想，则I+J={i+j|i∈I,j∈J}是R的理想C.若I是R的理想，a∈I，则1∈ID.若R是整环，则R的理想都是主理想E.若I是R的理想，则R/I是环

答案：ABE

8.设G是群，a,b∈G，下列等式成立的是（）

A.(a?1)?1=aB.(ab)?1=a?1b?1C.a?a?=a???D.(a?)?=a??E.若ab=ba，则(ab)?=a?b?

答案：ACDE

9.在模n剩余类环Z?中（）

A.有n个元素B.是交换环C.是整环当且仅当n是素数D.任