数学文化神秘的无穷与三次数学危机.pptVIP

五、潜无限与实无限1．潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。*第30页，共80页，星期日，2025年，2月5日从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持潜无限的观点他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种说话的方式*第31页，共80页，星期日，2025年，2月5日康托的集合论与实无限但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。*第32页，共80页，星期日，2025年，2月5日康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

*第33页，共80页，星期日，2025年，2月5日实无限、潜无限只是一个硬币的两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在现代数学中都是有用武之地。微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼近的过程，也是一个可供研究的实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静的最大敌人*第34页，共80页，星期日，2025年，2月5日六．哲学中的无限1．哲学对“无限”的兴趣哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：*第35页，共80页，星期日，2025年，2月5日物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的认识是有限的。*第36页，共80页，星期日，2025年，2月5日无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。他们的现代追随者——物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”——那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个极端的——无限广阔的——尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！*第37页，共80页，星期日，2025年，2月5日2．数学对“无限”的观点的贡献数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习