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一次函数压轴题总结

一次函数作为初中数学函数板块的重要内容，常常在各类考试的压轴题中出现。这类题目综合性强，对学生的数学思维和解题能力要求较高。下面将从一次函数压轴题的常见题型、解题策略、典型例题分析以及学习建议等方面进行详细总结。

常见题型

1.一次函数与方程、不等式的综合问题

这类题型通常会将一次函数与一元一次方程、一元一次不等式结合起来。例如，已知一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)），会让学生根据函数图象求解方程\(kx+b=0\)的解，或者求解不等式\(kx+b\gt0\)或\(kx+b\lt0\)的解集。通过函数图象来直观地理解方程和不等式的解，体现了函数与方程、不等式之间的内在联系。

2.一次函数与几何图形的综合问题

一次函数与几何图形的综合是压轴题中较为常见的类型。可能会涉及到一次函数与三角形、四边形等几何图形的结合。比如，已知一次函数的表达式，在平面直角坐标系中构建三角形，求三角形的面积、周长，或者判断三角形的形状（如等腰三角形、直角三角形等）。也可能会在四边形中，利用一次函数来确定点的坐标，进而研究四边形的性质，如平行四边形、矩形、菱形等。

3.一次函数的实际应用问题

这类问题通常以实际生活为背景，如销售问题、行程问题、工程问题等。通过建立一次函数模型来解决实际问题，需要学生将实际问题转化为数学问题，找出变量之间的关系，列出一次函数表达式，然后根据函数的性质来求解实际问题中的最优解，如最大利润、最短时间等。

4.一次函数中的动点问题

动点问题是一次函数压轴题中难度较大的一类。在平面直角坐标系中，会有一个或多个动点在一次函数的图象或坐标轴上运动。需要根据动点的运动情况，分析不同时间段内的函数关系，可能会涉及到分段函数。同时，还需要结合几何图形的性质，如全等三角形、相似三角形等，来求解动点的坐标、运动时间等问题。

解题策略

1.方程思想

在解决一次函数与方程、不等式的综合问题时，方程思想是关键。当要求一次函数与\(x\)轴交点的横坐标时，可令\(y=0\)，得到一个一元一次方程，通过解方程求出交点的横坐标。例如，对于一次函数\(y=2x-4\)，令\(y=0\)，则\(2x-4=0\)，解得\(x=2\)，即该函数与\(x\)轴的交点坐标为\((2,0)\)。在解决不等式问题时，也可以通过解方程找到边界点，再结合函数图象的单调性来确定不等式的解集。

2.数形结合思想

数形结合思想是解决一次函数压轴题的重要思想方法。一次函数的图象是一条直线，通过画出函数图象，可以直观地观察函数的性质，如增减性、与坐标轴的交点等。在解决一次函数与几何图形的综合问题时，更需要将函数图象与几何图形结合起来。例如，已知一次函数\(y=-x+3\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(A\)、\(B\)两点，求\(\triangleAOB\)的面积。首先，求出\(A(3,0)\)，\(B(0,3)\)，然后画出函数图象，根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}OA\cdotOB\)，可得\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\times3\times3=\frac{9}{2}\)。

3.分类讨论思想

在解决一次函数中的动点问题和一些复杂的几何综合问题时，常常需要运用分类讨论思想。因为动点的位置可能会有多种情况，不同的位置会导致不同的函数关系和几何图形。例如，在等腰三角形的问题中，需要分三种情况讨论：当\(AB=AC\)、\(AB=BC\)、\(AC=BC\)时，分别求解点的坐标。在分段函数问题中，也需要根据动点的运动阶段进行分类讨论，确定不同阶段的函数表达式。

4.函数建模思想

在解决一次函数的实际应用问题时，函数建模思想是核心。需要从实际问题中抽象出变量之间的关系，建立一次函数模型。例如，某商场销售一种商品，每件进价为\(20\)元，当售价为\(30\)元时，每天可销售\(200\)件。经市场调查发现，每件商品每涨价\(1\)元，每天的销售量就会减少\(10\)件。设每件商品的售价为\(x\)元，每天的销售利润为\(y\)元。根据利润\(=\)（售价\(-\)进价）\(\times\)销售量，可列出函数表达式\(y=(x-20)[200-10(x-30)]=-10x^{2}+700x-10000\)，然后根据函数的性质求出最大利润。

典型例题分析

例1：一次函数与方程、不等式的综合问题

已知一次函数\(y=3x-6\)。

（1）求该函数与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标；

（2）求不等式\(3x-6\gt0\)的解集；

（3）若该函数图象与