人教版九年级上册数学精品教学课件 阶段拔尖专训 阶段拔尖专训7 隐形圆问题.pptVIP

阶段拔尖专训7隐形圆问题

A，B，C三点在以点O为圆心的圆上图示条件结论点O是定点，OA＝OB＝OCA，B，C三点在以点O为圆心的圆上

动点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上图示条件结论点O是定点，OA是定长动点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上

1．如图，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值．

【解】∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C在以点B为圆心，2为半径的⊙B上．∵A(4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB＝4.如图，取OD＝OA＝4(点D在x轴上)，连接CD，BD，延长DB交⊙B于点N.∵M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线．

【解】∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AFE，AB＝4，∴AF＝AB＝4.∴点F在以点A为圆心，4为半径的⊙A上．易知点F到CD的距离的最小值等于圆心A到CD的距离减去⊙A的半径4，此时△CDF的面积最小．如图，过点A作AH⊥CD于点H，此时A，F，H三点共线．∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴CD＝AB＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°.

A，B，C，D四点共圆图示条件结论∠A＋∠C＝180°A，B，C，D四点共圆

A，B，C，D四点共圆图示条件结论∠A＋∠C＝180°A，B，C，D四点共圆

3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长为________．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△ADE，直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB＝PD.

【证明】由旋转的性质得∠CAE＝∠BAD＝α，AC＝AE，AB＝AD，∴∠CEA＝∠ADB.∴A，D，E，P四点共圆．如图，连接AP.∵∠AED＝90°，∴AD为圆的直径．∴∠APD＝90°，即AP⊥BD.又∵AB＝AD，∴PB＝PD.

动点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)图示条件结论点A，B是定点，动点C满足∠ACB＝90°动点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)

5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，ADBC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，且∠ADF＝∠BAE，求线段BF的最小值．

【解】如图，设AD的中点为O，以AD为直径画半圆O，连接OB，设OB与半圆O的交点为F′.∵∠BAD＝90°，∠ADF＝∠BAE，∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAF＝∠ADF＋∠DAF＝90°.∴∠DFA＝180°－90°＝90°.

6．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为边AB上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF，求AF的最小值．

【解】如图①，设BC的中点为O，以BC为直径作⊙O，连接AO，OF.∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°.∴点F在以BC为直径的⊙O上．∵在△AFO中，AFAO－FO，∴当A，F，O三点共线时，AF有最小值，此时，如图②.

动点A的轨迹是个圆(⊙O)，圆心O在BC的垂直平分线上，且满足∠BOC＝2α(α为锐角)或∠BOC＝360°－2α(α为钝角)图示条件结论在△ABC中，∠A＝α，BC＝m(α，m是定值).若点B，C是定点，A是动点动点A的轨迹是个圆(⊙O)，圆心O在BC的垂直平分线上，且满足∠BOC＝2α(α为锐角)或∠BOC＝360°－2α(α为钝角)

7．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，对角线AC⊥AD，求BD的最大值．

【解】由题意得点B的轨迹是个圆，且圆心在AC的垂直平分线上，易知当BD经过圆心时，取得最大值，此时，如图，作△ABC的外接圆⊙O，使得BD经过圆心O，连接CO并延长交⊙O于点F,连接AF.

∵CF经过圆心O，即CF为⊙O的直径，∴AC⊥AF.又∵AC⊥AD，∴点D，A，F在同一条直线上．∵∠AFC＝∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△CDF是等边三角形．∴易得AD＝AF＝2.∴CF＝DF＝2AD＝4.

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