2026人教A版高考数学一轮复习专练： 构造函数证明不等式.pdfVIP

第二课时构造函数证明不等式

题型一移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式

例1(202・新高考I卷)已知函数火》)=。(^+。)一x.

(1)讨论人x)的单调性；

(2)证明：当,

a0时，«v)21na+1

A

(1)解/(x)=tze-l,xGR.

当aWO时，/(x)0,

所以函数人X)在(一8,+8)上单调递减；

当a0时，令/(x)0,得x—Ina；

f(x)0,得x一Ina,

令

所以函数兀0在(-8,—Ina)上单调递减，

在(一Ina,+8)上单调递增.

综上，当aWO时，函数八》)在(一8,+8)上单调递减；

当a0时，函数兀V)在(-8,一Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

⑵证明法一由(1)得当a0时，函数人》)的最小值为八-Ina)=l+t^+ina

令g(a)=1+/+lna-21na—1=/—Ina-aG(0,+°°),

所以r

g(a)=2a—^,

令g(a)0,得a乎;

令g(a)0,得0a坐〈，

所以函数g(a)在o［,坐)上单调递减，在坐［，+8)上单调递增，

所以函数g(a)的最小值为g惇一In乎•一；=ln小0,

所以当70时，_/(x)21n成立.

法二当。0时，由(1)得#X)min=/(一也0=1+次+山底

故欲证y(x)21na+］成立，

c3

只需证l+/+ln〃21n〃+1,

2

即证6Z—^lna.

构造函数u(d)=lna—(a—l)(a0)9

I111—Q

贝1u\a)=~-1=~

r

所以当〃1时,u(a)Q；

r

当0al时，u(a)0,

所以函数K(〃)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以K(Q)WM(1)=0,

即InaWaT,

2

故只需证a—一1,

即证—

(、2

2

因为a—a+^=[a—^+；0恒成立，

3

所以当70时，_/(x)21n成立.

感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的

最值，利用最值证明不等式.

2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函

数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造

函数的单调性和最值即可得证.

训练1(2023・新高考H卷节选)证明：当0xl时，x-x2smxx.

证明令

则h(x)=l—2x—cs%(0x1).

令p(x)=1—2x—csx(0xl),

则p(x)=—2+sinx0,

所以p(x)即/(x)在(0,1)上单调递减,

又(0)=0,

所以当0%1时，〃(x)〃(0)=0,力。)单调递减，

所以当0%1时，/z(x)/z(O)=O,

2

艮口%—xsinx.

令g(x)=sinx—x(Ox1),

则ga)=cos%—lW。，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，

又g(0)=0，

所以当0%1时,ga)vg(0)=0,

即sinxx.

2

综上，当0vx1时，%—xsinxx.

题型二分拆函